Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro
(parte interna) e por:
(2.2) cone
(2.2) cone
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está dentro do cilindro
e também está limitado pelo cone
. Para isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas para calcular volumes em 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro
. Podemos reescrevê-la completando o quadrado:
Isso nos mostra que o cilindro é, na verdade, um cilindro circular com raio 1, centrado em
no plano
.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nesse sistema,
,
e
. O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração:
-
Para
: Como o cilindro está centrado em , varia de a . -
Para
: A equação do cilindro em coordenadas cilíndricas fica . Simplificando, obtemos . -
Para
: O cone é dado por . Portanto, vai de a .
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Substituindo na integral dupla:
- Integral em
:
- Substituindo na integral final:
Sabemos que
, pois a função
é ímpar em relação a
, fazendo com que as áreas positivas e negativas se cancelem.
Resposta
O volume do sólido é
.
Nota: Na realidade, isso indica que não há volume entre o cilindro e o cone nesse intervalo específico. É importante revisar as limitações dos intervalos de integração ou a interpretação das figuras geométricas para garantir que o volume calculado seja representativo da situação descrita.