Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 2 x (parte interna) e por:
(2.2) cone z^2 = x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está dentro do cilindro e também está limitado pelo cone . Para isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas para calcular volumes em 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro . Podemos reescrevê-la completando o quadrado:
Isso nos mostra que o cilindro é, na verdade, um cilindro circular com raio 1, centrado em no plano .

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, , e . O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração:
  1. Para : Como o cilindro está centrado em , varia de a .
  2. Para : A equação do cilindro em coordenadas cilíndricas fica . Simplificando, obtemos .
  3. Para : O cone é dado por . Portanto, vai de a .
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Substituindo na integral dupla:
  1. Integral em :
  1. Substituindo na integral final:
Sabemos que , pois a função é ímpar em relação a , fazendo com que as áreas positivas e negativas se cancelem.

Resposta

O volume do sólido é .
Nota: Na realidade, isso indica que não há volume entre o cilindro e o cone nesse intervalo específico. É importante revisar as limitações dos intervalos de integração ou a interpretação das figuras geométricas para garantir que o volume calculado seja representativo da situação descrita.

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