Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a série infinita
. Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica.
Passo 2
Uma série geométrica é uma série da forma
, onde
é a razão comum entre os termos consecutivos. A principal característica de uma série geométrica é que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante
.
Passo 3
Para verificar a convergência de uma série geométrica, observamos o valor de
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Passo 4
Vamos identificar o valor de
na nossa série:
Calculando o valor numérico:
Passo 5
Agora, verificamos se
:
Como o valor absoluto de
é menor que 1, de acordo com o critério da série geométrica, a série converge.
Resposta
A série
converge.