Determine se a série sumn=1^infty 1(ln 3)^n converge ou diverge. Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a série infinita . Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o conceito de série geométrica.

Passo 2

Uma série geométrica é uma série da forma , onde é a razão comum entre os termos consecutivos. A principal característica de uma série geométrica é que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante .

Passo 3

Para verificar a convergência de uma série geométrica, observamos o valor de :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.

Passo 4

Vamos identificar o valor de r = 1ln 3 na nossa série:
ln 3 approx 1.0986 r approx 11.0986 approx 0.9102
Calculando o valor numérico:

Passo 5

Agora, verificamos se |0.9102| = 0.9102 < 1 :
Como o valor absoluto de é menor que 1, de acordo com o critério da série geométrica, a série converge.

Resposta

A série converge.

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