Usando a lei de Gauss e a definiçào de diferença de potencial eletrico para capacitores:
(1,5) Demonstre que um capacitor cilindrico com raio interno a, raio externo 5 a e comprimento L=4,025 a terá a mesma capacitância do capacitor na letra (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para mostrar que um capacitor cilíndrico com raio interno a, raio externo 5a e comprimento L = 4,025a tem a mesma capacitância que outro capacitor mencionado na letra (a). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico entre os cilindros e a definição de diferença de potencial elétrico. No final, vamos comparar as capacitâncias para verificar se são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela nos ajuda a encontrar o campo elétrico criado por uma carga distribuída de forma simétrica. No caso de um capacitor cilíndrico, a simetria é cilíndrica, então a gente escolhe uma superfície gaussiana que também é um cilindro coaxial com o capacitor.
A expressão da Lei de Gauss é:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • dA é um elemento de área da superfície gaussiana,
  • Qenc é a carga encerrada pela superfície,
  • varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Gauss ao nosso capacitor cilíndrico. Vamos considerar um cilindro gaussiano de raio r, onde a < r < 5a, ou seja, entre os dois cilindros do capacitor.
A área lateral do cilindro gaussiano é A = 2pi r L. Como o campo elétrico é radial e uniforme nessa superfície, a integral da Lei de Gauss fica:
E cdot 2pi r L = Qvarepsilon0
Assim, o campo elétrico entre os cilindros é:
E = Q2pi varepsilon0 r L

Passo 4

Agora, vamos usar a definição de diferença de potencial elétrico ( V) entre os dois cilindros. Sabemos que:
V = integrala^5a E , dr
Substituindo o valor de E que encontramos:
V = integrala^5a Q2pi varepsilon0 r L , dr = Q2pi varepsilon0 L integrala^5a 1r , dr
A integral de 1/r é o logaritmo natural:
V = Q2pi varepsilon0 L ( ln5a - lna ) = Q2pi varepsilon0 L ln5

Passo 5

A capacitância ( C) é definida como a relação entre a carga ( Q) e a diferença de potencial ( V):
C = QV
Substituindo o valor de V que encontramos:
C = QQ2pi varepsilon0 L ln5 = 2pi varepsilon0 Lln5

Resposta

Portanto, a capacitância do capacitor cilíndrico é:
C = 2pi varepsilon0 Lln5
Com L = 4,025a, substituindo na expressão:
C = 2pi varepsilon0 cdot 4,025aln5
Isso demonstra que, com essas dimensões, o capacitor cilíndrico possui a mesma capacitância do capacitor mencionado na letra (a).

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