Usando a lei de Gauss e a definiçào de diferença de potencial eletrico para capacitores:
Demonstre que um capacitor cilindrico com raio interno
, raio externo
e comprimento
terá a mesma capacitância do capacitor na letra (a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para mostrar que um capacitor cilíndrico com raio interno
, raio externo
e comprimento
tem a mesma capacitância que outro capacitor mencionado na letra (a). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico entre os cilindros e a definição de diferença de potencial elétrico. No final, vamos comparar as capacitâncias para verificar se são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss. Ela nos ajuda a encontrar o campo elétrico criado por uma carga distribuída de forma simétrica. No caso de um capacitor cilíndrico, a simetria é cilíndrica, então a gente escolhe uma superfície gaussiana que também é um cilindro coaxial com o capacitor.
A expressão da Lei de Gauss é:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície gaussiana, -
é a carga encerrada pela superfície, -
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos aplicar a Lei de Gauss ao nosso capacitor cilíndrico. Vamos considerar um cilindro gaussiano de raio
, onde
, ou seja, entre os dois cilindros do capacitor.
A área lateral do cilindro gaussiano é
. Como o campo elétrico é radial e uniforme nessa superfície, a integral da Lei de Gauss fica:
Assim, o campo elétrico entre os cilindros é:
Passo 4
Agora, vamos usar a definição de diferença de potencial elétrico (
) entre os dois cilindros. Sabemos que:
Substituindo o valor de
que encontramos:
A integral de
é o logaritmo natural:
Passo 5
A capacitância (
) é definida como a relação entre a carga (
) e a diferença de potencial (
):
Substituindo o valor de
que encontramos:
Resposta
Portanto, a capacitância do capacitor cilíndrico é:
Com
, substituindo na expressão:
Isso demonstra que, com essas dimensões, o capacitor cilíndrico possui a mesma capacitância do capacitor mencionado na letra (a).