Usando a lei de Gauss e a definiçào de diferença de potencial eletrico para capacitores:
(1 , 0 ) Calcule a capacitância para um capacitor esferico de raio interno a e raio externo 5 a

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra gente calcular a capacitância de um capacitor esférico usando a Lei de Gauss e a definição de diferença de potencial elétrico. O capacitor tem um raio interno de $ a $ e um raio externo de $ 5a $. Basicamente, vamos usar conceitos de eletrostática para encontrar essa capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um capacitor esférico. Ele consiste em duas esferas concêntricas: uma interna com raio $ a $ e uma externa com raio $ 5a $. A capacitância desse tipo de capacitor depende da diferença de potencial entre essas duas esferas e da distância entre elas.

Passo 3

Vamos começar aplicando a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico entre as esferas. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qvarepsilon0
Onde $ \mathbf{E} $ é o campo elétrico, $ Q $ é a carga e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 4

Para uma distribuição esférica de carga, o campo elétrico $ E $ em um ponto a uma distância $ r $ do centro é dado por:
E
Isso significa que o campo elétrico diminui com o quadrado da distância a partir do centro.

Passo 5

Agora, vamos usar a definição de diferença de potencial elétrico. A diferença de potencial $ V $ entre as duas esferas é a integral do campo elétrico entre os raios $ a $ e $ 5a $:
V

Passo 6

Resolvendo essa integral:
V = Q4 pi varepsilon0 integrala^5a 1r^2 , dr = Q4 pi varepsilon0 [ -1r ]a^5a = Q4 pi varepsilon0 ( 1a - 15a )
Simplificando:
V = Q4 pi varepsilon0 a ( 1 - 15 ) = Q4 pi varepsilon0 a cdot 45 = Q5 pi varepsilon0 a

Passo 7

A capacitância $ C $ é definida pela relação entre a carga $ Q $ e a diferença de potencial $ V $:
C
Substituindo o valor de $ V $ que encontramos:
Q

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é $ C = 5,\pi,\varepsilon_0,a $.

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