Questão 10. Em cada caso, dados f e g \in K[x], encontre os polinômios r, q tais f=q g+r onde ou r=0 ou \partial r<\partial g.
f=x^{5}-x^{3}+\overline{3} x-\overline{5}, g=x+\overline{2} e K=\mathbb{Z}_{5}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar polinômios q,r\in \mathbb{Z}_{5}[x] tais que
f = q\,g + r,
onde ou r=0 ou \partial r < \partial g. Os dados são:
f = x^{5}-x^{3}+\overline{3}\,x-\overline{5},\qquad g = x+\overline{2},\qquad K=\mathbb{Z}_{5}.
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O corpo é \mathbb{Z}_{5}, ou seja, os coeficientes são reduzidos módulo 5.
  • O polinômio divisor g é de grau 1, então o resto r (se não for zero) deve ter grau menor que 1, isto é, ser constante.
  • O polinômio f tem grau 5. Não há figura ou outra informação adicional.

Passo 2

Vamos simplificar os coeficientes de f trabalhando em \mathbb{Z}_{5}. Em \mathbb{Z}_{5} os representantes usuais são 0,1,2,3,4 e números negativos são reduzidos módulo 5. Em particular:
-1 \equiv 4,\qquad -2 \equiv 3,\qquad -5 \equiv 0 \pmod{5}.
Aplicando isso a f temos
f = x^{5} + (-1)\,x^{3} + 3\,x + (-5) \equiv x^{5} + 4\,x^{3} + 3\,x + 0.
Portanto, podemos usar
f = x^{5} + 4x^{3} + 3x.
O divisor é
g = x + 2.
Como g é linear, a divisão é simples e podemos usar divisão polinomial direta ou o método de divisão sintética (Ruffini). Vou usar divisão sintética: para isso precisamos do número r tal que g = x - r. Como g = x + 2, temos x+2 = x - 3 em \mathbb{Z}_5, então o “raiz” é
r = 3.

Passo 3

Preparar os coeficientes de f em ordem decrescente de grau (grau 5 até 0):
\text{coeficientes} = [1,\;0,\;4,\;0,\;3,\;0],
pois f = 1\cdot x^{5} + 0\cdot x^{4} + 4\cdot x^{3} + 0\cdot x^{2} + 3\cdot x + 0.

Passo 4

Aplicar a divisão sintética com r=3. Vou descrever cada passo aritmético (tudo em \mathbb{Z}_{5}).
  1. Trago para baixo o primeiro coeficiente 1. Esse é o primeiro coeficiente do quociente.
b_{0} = 1.
  1. Multiplico b_{0} por r: 1\cdot 3 = 3. Somo ao próximo coeficiente 0: 0 + 3 = 3. Então
b_{1} = 3.
  1. Multiplico b_{1} por r: 3\cdot 3 = 9 \equiv 4 \pmod{5}. Somo ao próximo coeficiente 4: 4 + 4 = 8 \equiv 3. Então
b_{2} = 3.
  1. Multiplico b_{2} por r: 3\cdot 3 = 9 \equiv 4. Somo ao próximo coeficiente 0: 0 + 4 = 4. Então
b_{3} = 4.
  1. Multiplico b_{3} por r: 4\cdot 3 = 12 \equiv 2. Somo ao próximo coeficiente 3: 3 + 2 = 5 \equiv 0. Então
b_{4} = 0.
  1. Multiplico b_{4} por r: 0\cdot 3 = 0. Somo ao último coeficiente 0: 0 + 0 = 0. Esse é o resto.
\text{resto} = 0.

Passo 5

Os coeficientes do quociente, na ordem (grau 4 a grau 0), são
[\,b_{0},\,b_{1},\,b_{2},\,b_{3},\,b_{4}\,] = [1,\;3,\;3,\;4,\;0].
Assim o quociente é
q = x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} + 4x + 0 \equiv x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} + 4x.
E o resto obtido é r=0, que satisfaz a condição do problema.

Passo 6

Fazer uma verificação rápida multiplicando q por g em \mathbb{Z}_5[x] para checar que volta f:
Multiplicando termo a termo,
q\cdot x = x^{5} + 3x^{4} + 3x^{3} + 4x^{2},
q\cdot 2 = 2x^{4} + 6x^{3} + 6x^{2} + 8x \equiv 2x^{4} + 1x^{3} + 1x^{2} + 3x \pmod{5}.
Somando os dois resultados:
x^{5} + (3+2)x^{4} + (3+1)x^{3} + (4+1)x^{2} + 3x \equiv x^{5} + 0\cdot x^{4} + 4x^{3} + 0\cdot x^{2} + 3x,
ou seja
q\,g = x^{5} + 4x^{3} + 3x = f,
confirmando a divisão.

Resposta

q = x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} + 4x
r = 0

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