Questão 10. Em cada caso, dados
e
, encontre os polinômios
tais
onde ou
ou
.
e
Passo 1
O enunciado pede: encontrar polinômios
tais que
onde ou
ou
. Os dados são:
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O corpo é
, ou seja, os coeficientes são reduzidos módulo . - O polinômio divisor
é de grau , então o resto (se não for zero) deve ter grau menor que , isto é, ser constante. - O polinômio
tem grau . Não há figura ou outra informação adicional.
Passo 2
Vamos simplificar os coeficientes de
trabalhando em
. Em
os representantes usuais são
e números negativos são reduzidos módulo
. Em particular:
Aplicando isso a
temos
Portanto, podemos usar
O divisor é
Como
é linear, a divisão é simples e podemos usar divisão polinomial direta ou o método de divisão sintética (Ruffini). Vou usar divisão sintética: para isso precisamos do número
tal que
. Como
, temos
em
, então o “raiz” é
Passo 3
Preparar os coeficientes de
em ordem decrescente de grau (grau
até
):
pois
.
Passo 4
Aplicar a divisão sintética com
. Vou descrever cada passo aritmético (tudo em
).
- Trago para baixo o primeiro coeficiente
. Esse é o primeiro coeficiente do quociente.
- Multiplico
por : . Somo ao próximo coeficiente : . Então
- Multiplico
por : . Somo ao próximo coeficiente : . Então
- Multiplico
por : . Somo ao próximo coeficiente : . Então
- Multiplico
por : . Somo ao próximo coeficiente : . Então
- Multiplico
por : . Somo ao último coeficiente : . Esse é o resto.
Passo 5
Os coeficientes do quociente, na ordem (grau
a grau
), são
Assim o quociente é
E o resto obtido é
, que satisfaz a condição do problema.
Passo 6
Fazer uma verificação rápida multiplicando
por
em
para checar que volta
:
Multiplicando termo a termo,
Somando os dois resultados:
ou seja
confirmando a divisão.