Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral da seguinte EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + 2 y’ + 2 y = 1 + x^2 $ usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método ajuda a encontrar a solução geral de EDOs lineares com termos não homogêneos. Vamos precisar resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação homogênea: $ y’’ + 2 y’ + 2 y = 0 $. Para resolver isso, supomos que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação homogênea, temos:
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 2r + 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas ($ -1 \pm i $), a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação não homogênea $ y’’ + 2 y’ + 2 y = 1 + x^2 $. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que $ y_p $ também seja um polinômio de segundo grau:
Calculando as derivadas:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO é: