Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral da seguinte EDO:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=1+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + 2 y’ + 2 y = 1 + x^2 $ usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método ajuda a encontrar a solução geral de EDOs lineares com termos não homogêneos. Vamos precisar resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação homogênea: $ y’’ + 2 y’ + 2 y = 0 $. Para resolver isso, supomos que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos descobrir.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação homogênea, temos:
y = e^rx
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^2 e^rx + 2 r e^rx + 2 e^rx = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 2r + 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 2r + 2 = 0
Como as raízes são complexas ($ -1 \pm i $), a solução geral da equação homogênea é:
r = -2 pm raiz4 - 82 = -2 pm raiz-42 = -1 pm i
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação não homogênea $ y’’ + 2 y’ + 2 y = 1 + x^2 $. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que $ y_p $ também seja um polinômio de segundo grau:
yp
Calculando as derivadas:
y'' + 2 y' + 2 y = 1 + x^2
yp
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp = A x^2 + B x + C
Simplificando:
yp' = 2A x + B
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
yp'' = 2A
yp
yp'
Então, a solução particular é:
yp''

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = e^-x (C1 cos x + C2 sin x) + 12 x^2 - x + 1

Exercícios relacionados