Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral da seguinte EDO:
y^prime prime-4 y^prime+5 y=e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 4y' + 5y = e^-x
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não homogênea. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Isso vai nos ajudar a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, quando a parte direita é zero:
y'' - 4y' + 5y = 0

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos montar a equação característica substituindo y por e^rx:
r^2 - 4r + 5 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz16 - 202 = 4 pm raiz-42 = 2 pm i
Então, as raízes são complexas: 2 + i e 2 - i.

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
yc = e^2x(C1 cos x + C2 sin x)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação não homogênea:
y'' - 4y' + 5y = e^-x
Como o lado direito é e^-x, tentamos uma solução da forma:
yp = A e^-x
Onde A é o coeficiente a ser determinado.

Passo 7

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = -A e^-x
yp'' = A e^-x

Passo 8

Substituímos yp, yp' e yp'' na EDO original:
A e^-x - 4(-A e^-x) + 5A e^-x = e^-x
Simplificando:
A + 4A + 5A = 10A = 1
Então:
A = 110

Passo 9

Portanto, a solução particular é:
yp = 110 e^-x

Passo 10

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yc + yp = e^2x(C1 cos x + C2 sin x) + 110 e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^2x(C1 cos x + C2 sin x) + 110 e^-x

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