Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral da seguinte EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não homogênea. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Isso vai nos ajudar a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja, quando a parte direita é zero:
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos montar a equação característica substituindo
por
:
Passo 4
Resolvendo a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
Onde
é o coeficiente a ser determinado.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
,
e
na EDO original:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: