Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral da seguinte EDO:
y^prime prime+2 y^prime+y=t^2 e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau:
y'' + 2y' + y = t^2 e^2t
Aqui, vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução geral. Para isso, precisamos resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
y'' + 2y' + y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y’’ $ por $ r^{2} $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
y''
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara:
r^2
Como temos uma raiz dupla ($ r = -1 $), a solução geral da equação homogênea é:
y'
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y'' + 2y' + y = t^2 e^2t
Como o lado direito é $ t^{2} e^{2t} $, assumimos uma solução particular na forma:
t^2 e^2t
onde $ A $, $ B $ e $ C $ são coeficientes que vamos determinar.
Vamos calcular as derivadas $ y_p’ $ e $ y_p’’ $:
yp(t) = e^2t (A t^2 + B t + C),
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
A
Simplificando:
B
Igualando os coeficientes:
C
Resolvendo o sistema:
  1. $ 9A = 1 $ ⇒ $ A = \frac{1}{9} $.
  2. $ 20 \cdot \frac{1}{9} + 13B = 0 $ ⇒ $ \frac{20}{9} + 13B = 0 $ ⇒ $ B = -\frac{20}{117} $.
  3. $ 4 \cdot \frac{1}{9} + 12 \cdot \left(-\frac{20}{117}\right) + 9C = 0 $ ⇒ $ \frac{4}{9} - \frac{240}{117} + 9C = 0 $ ⇒ $ C = \frac{20}{351} $.
Então, a solução particular é:
yp'

Passo 4

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t) e^-t + e^2t ( 19 t^2 - 20117 t + 20351 )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^-t + e^2t ( 19 t^2 - 20117 t + 20351 ),
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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