Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral da seguinte EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau:
Aqui, vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução geral. Para isso, precisamos resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y’’ $ por $ r^{2} $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara:
Como temos uma raiz dupla ($ r = -1 $), a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é $ t^{2} e^{2t} $, assumimos uma solução particular na forma:
onde $ A $, $ B $ e $ C $ são coeficientes que vamos determinar.
Vamos calcular as derivadas $ y_p’ $ e $ y_p’’ $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
- $ 9A = 1 $ ⇒ $ A = \frac{1}{9} $.
- $ 20 \cdot \frac{1}{9} + 13B = 0 $ ⇒ $ \frac{20}{9} + 13B = 0 $ ⇒ $ B = -\frac{20}{117} $.
- $ 4 \cdot \frac{1}{9} + 12 \cdot \left(-\frac{20}{117}\right) + 9C = 0 $ ⇒ $ \frac{4}{9} - \frac{240}{117} + 9C = 0 $ ⇒ $ C = \frac{20}{351} $.
Então, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.