O enunciado dá um sistema linear com matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito. Pergunta-se para encontrar o vetor solução \begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{bmatrix} usando decomposição LU. Informações fornecidas:
O que é pedido: achar \mathbf{x} tal que A\mathbf{x}=\mathbf{b}, usando o método de decomposição LU.]
Passo 2
Ideia do método e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
Queremos fatorar A na forma
A = LU,
onde L é triangular inferior com diagonais iguais a 1 (matriz unitária inferior) e U é triangular superior. Essa escolha (diagonais de L iguais a 1) é conveniente e é o que se chama método de Doolittle.
As fórmulas gerais (para matrizes n\times n) que usaremos para construir L e U são:
u_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}\,u_{kj}\quad\text{para } j\ge i,
com l_{ii}=1. Aqui a_{ij} são os elementos de A, u_{ij} de U e l_{ij} de L. A ideia é preencher U linha a linha e L coluna a coluna usando essas fórmulas.
Depois de obter L e U resolvemos duas etapas:
resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição para frente (forward substitution), usando
y_i = b_i - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}\,y_k;
resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição para trás (back substitution), usando
(Se você quiser, pode verificar multiplicando L por U e confirmando LU=A; eu já verifiquei que dá certo.)]
Passo 8
Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição para frente. Escrevemos as equações explícitas (com L acima e \mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\\ 3\\\ 5\end{bmatrix}):