Usando o método de decomposição LU, resolva o seguinte sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 3 \\\\ 3 \\\\ 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito. Pergunta-se para encontrar o vetor solução \begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{bmatrix} usando decomposição LU. Informações fornecidas:
A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 3 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{bmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\[2pt]3\\[2pt]5\end{bmatrix}.
O que é pedido: achar \mathbf{x} tal que A\mathbf{x}=\mathbf{b}, usando o método de decomposição LU.]

Passo 2

Ideia do método e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
Queremos fatorar A na forma
A = LU,
onde L é triangular inferior com diagonais iguais a 1 (matriz unitária inferior) e U é triangular superior. Essa escolha (diagonais de L iguais a 1) é conveniente e é o que se chama método de Doolittle.
As fórmulas gerais (para matrizes n\times n) que usaremos para construir L e U são:
u_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}\,u_{kj}\quad\text{para } j\ge i,
l_{ij} = \frac{1}{u_{jj}}\left(a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik}\,u_{kj}\right)\quad\text{para } i>j,
com l_{ii}=1. Aqui a_{ij} são os elementos de A, u_{ij} de U e l_{ij} de L. A ideia é preencher U linha a linha e L coluna a coluna usando essas fórmulas.
Depois de obter L e U resolvemos duas etapas:
  1. resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição para frente (forward substitution), usando
y_i = b_i - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}\,y_k;
  1. resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição para trás (back substitution), usando
x_i = \frac{1}{u_{ii}}\left(y_i - \sum_{k=i+1}^{n} u_{ik}\,x_k\right).
Agora aplicamos isso ao nosso A (tudo passo a passo, sem pular contas).

Passo 3

Inicializamos L e U para o caso 3\times3. Escrevemos L e U com incógnitas:
L=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] l_{21} & 1 & 0\\[4pt] l_{31} & l_{32} & 1 \end{bmatrix},\qquad U=\begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix}.
Usamos as fórmulas do Passo 2 para preencher os elementos.]

Passo 4

Calcular primeira linha de U e primeiros elementos de L:
Para i=1 (primeira linha de U):
u_{1j} = a_{1j} - \sum_{k=1}^{0} (\cdots) = a_{1j}.
Portanto, pegando os elementos de A:
u_{11}=a_{11}=2,\qquad u_{12}=a_{12}=0,\qquad u_{13}=a_{13}=1.
Agora para l_{21} e l_{31} (coluna 1 de L, com i>j e j=1):
l_{i1}=\frac{1}{u_{11}}\bigl(a_{i1}-\sum_{k=1}^{0}(\cdots)\bigr)=\frac{a_{i1}}{u_{11}}.
Logo
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{0}{2}=0,\qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular u_{22} e u_{23} (segunda linha de U a partir de i=2):
Usamos
u_{2j}=a_{2j}-\sum_{k=1}^{1} l_{2k}u_{kj}\quad\text{para } j\ge 2.
Para j=2:
u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=2-0\cdot 0=2.
Para j=3:
u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=1-0\cdot 1=1.
Agora calculamos l_{32} (entrada i=3,j=2 de L):
l_{32}=\frac{1}{u_{22}}\left(a_{32}-\sum_{k=1}^{1} l_{3k}u_{k2}\right) =\frac{1}{u_{22}}\left(a_{32}-l_{31}u_{12}\right).
Substituindo valores:
l_{32}=\frac{1}{2}\bigl(1 - \tfrac{1}{2}\cdot 0\bigr)=\frac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Calcular u_{33} (último elemento de U) usando
u_{33}=a_{33}-\sum_{k=1}^{2} l_{3k}u_{k3}.
Substituindo:
u_{33}=3 - \bigl(l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23}\bigr) =3 - \bigl(\tfrac{1}{2}\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\cdot 1\bigr) =3 - (\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2})=3-1=2.

Passo 7

Agora escrevemos as matrizes L e U encontradas:
L=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \end{bmatrix},\qquad U=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.
(Se você quiser, pode verificar multiplicando L por U e confirmando LU=A; eu já verifiquei que dá certo.)]

Passo 8

Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição para frente. Escrevemos as equações explícitas (com L acima e \mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\\ 3\\\ 5\end{bmatrix}):
Equação 1:
y_1 = b_1 = 3.
Equação 2:
l_{21}y_1 + y_2 = b_2 \quad\Rightarrow\quad 0\cdot y_1 + y_2 = 3 \;\Rightarrow\; y_2=3.
Equação 3:
l_{31}y_1 + l_{32}y_2 + y_3 = b_3
substituindo l_{31}=\tfrac{1}{2}, l_{32}=\tfrac{1}{2}, y_1=3, y_2=3:
\tfrac{1}{2}\cdot 3 + \tfrac{1}{2}\cdot 3 + y_3 = 5
1{,}5 + 1{,}5 + y_3 = 5 \quad\Rightarrow\quad 3 + y_3 = 5 \quad\Rightarrow\quad y_3 = 2.
Portanto
\mathbf{y}=\begin{bmatrix}3\\[2pt]3\\[2pt]2\end{bmatrix}.]

Passo 9

Resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição para trás. Escrevemos as equações de trás para frente.
Equação 3 (última linha de U):
u_{33}x_3 = y_3 \quad\Rightarrow\quad 2\,x_3 = 2 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 1.
Equação 2:
u_{22}x_2 + u_{23}x_3 = y_2 \quad\Rightarrow\quad 2\,x_2 + 1\cdot x_3 = 3.
Substituindo x_3=1:
2\,x_2 + 1 = 3 \quad\Rightarrow\quad 2\,x_2 = 2 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 1.
Equação 1:
u_{11}x_1 + u_{12}x_2 + u_{13}x_3 = y_1 \quad\Rightarrow\quad 2\,x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 3.
Substituindo x_3=1:
2\,x_1 + 1 = 3 \quad\Rightarrow\quad 2\,x_1 = 2 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1.

Passo 10

Interpretação final e checagem rápida: obtivemos
\mathbf{x}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{bmatrix}.
Se substituirmos em A\mathbf{x} vemos rapidamente:
A\begin{bmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot1\\[4pt] 0\cdot1 + 2\cdot1 + 1\cdot1\\[4pt] 1\cdot1 + 1\cdot1 + 3\cdot1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3\\[2pt]3\\[2pt]5\end{bmatrix}=\mathbf{b},
logo a solução está correta. Força aí — você conseguiu!]

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=1
x_{3}=1

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