(2,0) Usando o método de Jordan, encontre a solução do seguinte sistema.
\left\{\begin{array}{l} x+y+z+w=0 \\\ x+y+z-w=4 \\\ x+y-z+w=-4 \\\ x-y+z+w=2 \end{array}\right.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Temos quatro incógnitas: x,\;y,\;z,\;w.
  • O sistema é
\left\{\begin{array}{l} x+y+z+w=0 \\[4pt] x+y+z-w=4 \\[4pt] x+y-z+w=-4 \\[4pt] x-y+z+w=2 \end{array}\right.
  • O pedido: encontrar a solução (x,y,z,w) usando o método de Jordan (Gauss–Jordan), ou seja, transformar a matriz aumentada do sistema na forma reduzida por linhas (forma escada reduzida) por operações elementares de linha e ler as incógnitas diretamente.]

Passo 2

Breve explicação didática do método de Jordan (Gauss–Jordan):
  • Representa-se o sistema por sua matriz aumentada.
  • Aplica-se operações elementares de linha que preservam o conjunto de soluções:
    1. trocar duas linhas,
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo é chegar à forma reduzida por linhas (também chamada de forma escalonada reduzida), onde cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo na sua coluna. Então cada linha dá diretamente o valor de uma incógnita.
  • Quando a matriz está na forma reduzida por linhas, a solução é lida diretamente: se a linha i for [0\\ \dots 1\\ \dots 0\mid b] com o 1 na coluna de uma variável, então essa variável vale b.

Passo 3

Montar a matriz aumentada do sistema. Colocando as colunas na ordem x,y,z,w e a coluna aumentada com os termos independentes:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 1 & -1 & 1 & -4\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right]]

Passo 4

Primeiro pivot: usamos o elemento \,1 na posição (1,1). Zeramos as entradas abaixo dele na primeira coluna subtraindo a primeira linha das demais:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1
Calculemos linha a linha:
  • R_2: [1-1,\;1-1,\;1-1,\;-1-1 \mid 4-0]=[0,0,0,-2\mid 4].
  • R_3: [1-1,\;1-1,\;-1-1,\;1-1 \mid -4-0]=[0,0,-2,0\mid -4].
  • R_4: [1-1,\;-1-1,\;1-1,\;1-1 \mid 2-0]=[0,-2,0,0\mid 2].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\[4pt] 0 & -2 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora precisamos um pivô na segunda coluna. Observamos que a segunda coluna tem um não nulo em R_4. Para ter ordem confortável, trocamos R_2 com R_4:
  • R_2 \leftrightarrow R_4.
Após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & 4 \end{array}\right]]

Passo 6

Escalonamento final: queremos pivôs iguais a 1. Fazemos escalonamento (multiplicar cada linha por um escalar) para normalizar cada linha com pivô:
  • R_2 \leftarrow (-\tfrac{1}{2})R_2 transforma [0,-2,0,0\mid 2] em [0,1,0,0\mid -1].
  • R_3 \leftarrow (-\tfrac{1}{2})R_3 transforma [0,0,-2,0\mid -4] em [0,0,1,0\mid 2].
  • R_4 \leftarrow (-\tfrac{1}{2})R_4 transforma [0,0,0,-2\mid 4] em [0,0,0,1\mid -2].
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora aplicamos a etapa do Gauss–Jordan propriamente dita: zerar os elementos acima de cada pivô (colunas 2, 3 e 4), para obter a forma reduzida por linhas.
A linha R_1 tem coeficientes 1 nas colunas y,z,w. Vamos eliminar esses usando R_2,R_3,R_4:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2 - R_3 - R_4.
Calculemos R_1:
  • Coeficientes: primeira coluna fica 1 (pois as outras linhas têm zero nessa coluna). Coluna y: 1-1-0-0=0. Coluna z: 1-0-1-0=0. Coluna w: 1-0-0-1=0.
  • Termo independente: 0-(-1)-2-(-2)=0+1-2+2=1.
Logo R_1 se torna [1,0,0,0\mid 1].
A matriz totalmente reduzida é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretação final: cada linha agora dá diretamente o valor de uma incógnita:
  • A primeira linha diz x=1.
  • A segunda linha diz y=-1.
  • A terceira linha diz z=2.
  • A quarta linha diz w=-2.
Fazemos uma checagem rápida substituindo em uma das equações originais para ter confiança:
  • Na equação x+y+z+w=0: 1+(-1)+2+(-2)=0, ok.
  • Na equação x+y+z-w=4: 1+(-1)+2-(-2)=4, ok.
    (As outras também conferem; os números batem.)

Resposta

x=1
y=-1
z=2
w=-2

Exercícios relacionados