Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de 1 \underline{a} ordem.
y^{\prime}+2 y=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de 1ª ordem
y' + 2y = x,
e pede que a resolvamos. Não foi dado nenhum valor inicial, então vou encontrar a solução geral (a família de soluções com uma constante arbitrária). Também vou mostrar como obter a constante se houver um PVI (condição inicial) depois.
As informações relevantes que temos:
  • A equação está na forma y' + P(x)y = Q(x) com P(x)=2 e Q(x)=x.
  • Queremos a função y(x) que satisfaz essa igualdade para todo x do domínio.

Passo 2

Método escolhido: fator integrante (método padrão para equações lineares de 1ª ordem). Vou explicar a ideia de forma didática.
Para uma equação da forma
y' + P(x)\,y = Q(x),
procura-se um fator multiplicativo \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de um produto simples, isto é:
\mu(x)\,y' + \mu(x)\,P(x)\,y = \big(\mu(x)\,y\big)'.
Isso exige que \mu'(x)=\mu(x)P(x). A solução dessa equação para \mu é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Esse \mu é o chamado fator integrante. Depois de multiplicar pela \mu correta, integramos e isolamos y.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: P(x)=2. Então
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 2\,dx\Big)=\exp(2x)=e^{2x}.
Multiplico a equação original por e^{2x}:
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = x e^{2x}.
Agora observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{2x}y, porque
\big(e^{2x}y\big)' = e^{2x}y' + 2e^{2x}y.
Logo a equação vira
\big(e^{2x}y\big)' = x e^{2x}.

Passo 4

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{2x}y\big)'\,dx = \int x e^{2x}\,dx.
O lado esquerdo integra simplesmente para e^{2x}y. Agora precisamos calcular a integral \int x e^{2x}\,dx. Faço integração por partes — passo a passo:
Escolho u = x e dv = e^{2x}\,dx. Então du = dx e v = \dfrac{e^{2x}}{2}.
Pela fórmula de partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{e^{2x}}{2} + C = e^{2x}\Big(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\Big) + C,
onde C é a constante de integração.
Portanto
e^{2x}y = e^{2x}\Big(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\Big) + C.

Passo 5

Isolo y dividindo por e^{2x}:
y = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + C e^{-2x},
onde C é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral da equação diferencial.
Interpretação didática: a solução é composta por duas partes:
  • Uma solução particular \displaystyle y_p(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4} que resolve a equação não homogênea.
  • A solução geral da associada homogênea \displaystyle y_h(x)=C e^{-2x} (vinda de y'+2y=0).

Passo 6

Verificação rápida (útil em prova): derivando a solução obtida,
y' = \frac{1}{2} - 2C e^{-2x}.
Somando 2y,
y' + 2y = \Big(\frac{1}{2} - 2C e^{-2x}\Big) + 2\Big(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}+C e^{-2x}\Big) = \frac{1}{2} - 2C e^{-2x} + x - \frac{1}{2} + 2C e^{-2x} = x,
logo a solução está correta.

Passo 7

Se houver uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0, basta substituir x=x_0 e y=y_0 na solução geral para achar C:
C = e^{2x_0}\Big(y_0 - \frac{x_0}{2} + \frac{1}{4}\Big).
Força nos estudos — essa técnica de fator integrante é padrão e salva tempo em prova quando a equação está na forma linear de 1ª ordem.

Resposta

y(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}+C e^{-2x}.

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