Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de
ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de 1ª ordem
e pede que a resolvamos. Não foi dado nenhum valor inicial, então vou encontrar a solução geral (a família de soluções com uma constante arbitrária). Também vou mostrar como obter a constante se houver um PVI (condição inicial) depois.
As informações relevantes que temos:
- A equação está na forma
com e . - Queremos a função
que satisfaz essa igualdade para todo do domínio.
Passo 2
Método escolhido: fator integrante (método padrão para equações lineares de 1ª ordem). Vou explicar a ideia de forma didática.
Para uma equação da forma
procura-se um fator multiplicativo
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada de um produto simples, isto é:
Isso exige que
. A solução dessa equação para
é
Esse
é o chamado fator integrante. Depois de multiplicar pela
correta, integramos e isolamos
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso:
. Então
Multiplico a equação original por
:
Agora observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Logo a equação vira
Passo 4
Integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra simplesmente para
. Agora precisamos calcular a integral
. Faço integração por partes — passo a passo:
Escolho
e
. Então
e
.
Pela fórmula de partes :
Pela fórmula de partes
onde
é a constante de integração.
Portanto
Passo 5
Isolo
dividindo por
:
onde
é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral da equação diferencial.
Interpretação didática: a solução é composta por duas partes:
- Uma solução particular
que resolve a equação não homogênea. - A solução geral da associada homogênea
(vinda de ).
Passo 6
Verificação rápida (útil em prova): derivando a solução obtida,
Somando
,
logo a solução está correta.
Passo 7
Se houver uma condição inicial do tipo
, basta substituir
e
na solução geral para achar
:
Força nos estudos — essa técnica de fator integrante é padrão e salva tempo em prova quando a equação está na forma linear de 1ª ordem.