1^{\underline{\boldsymbol{a}}} Questão: (1,0 ponto) Calcule \lim \frac{n^{3} \sin n!}{n^{5}+1}
R: 0

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite (com n inteiro positivo indo a infinito):
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão considerada é uma sequência indexada por n.
  • Aparece \sin n!, ou seja, o seno do fatorial de n.
  • O objetivo é encontrar o valor do limite quando n\to\infty.

Passo 2

Propriedade útil sobre o seno (fato básico que sempre vale, para qualquer argumento real):
-1 \le \sin x \le 1 \quad\text{para todo } x\in\mathbb{R}.
Aplicando isso ao nosso caso com x=n!, obtemos
-1 \le \sin n! \le 1.

Passo 3

Multiplicamos a desigualdade anterior por n^{3} (que é positivo para n\ge1), obtendo
-n^{3} \le n^{3}\sin n! \le n^{3}.
Agora dividimos toda a cadeia de desigualdades por n^{5}+1. Observação: n^{5}+1>0 para todo n\ge1, então a direção das desigualdades não se inverte. Assim:
-\frac{n^{3}}{n^{5}+1} \le \frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1} \le \frac{n^{3}}{n^{5}+1}.

Passo 4

Vamos simplificar os termos das extremidades para obter limites facilmente calculáveis. Para n\ge1 temos n^{5}+1\ge n^{5}, portanto
0 \le \frac{n^{3}}{n^{5}+1} \le \frac{n^{3}}{n^{5}}=\frac{1}{n^{2}}.
Analogamente,
-\frac{1}{n^{2}} \le -\frac{n^{3}}{n^{5}+1} \le 0.
Juntando com a desigualdade do Passo 3:
-\frac{1}{n^{2}} \le -\frac{n^{3}}{n^{5}+1} \le \frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1} \le \frac{n^{3}}{n^{5}+1} \le \frac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Agora analisamos o limite das sequências que aparecem nas extremidades: sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0
porque n^{2}\to\infty e, portanto, sua recíproca tende a zero. Assim tanto o limite superior quanto o limite inferior (os termos \pm \tfrac{1}{n^{2}}) tendem a 0.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche): se a_n \le x_n \le b_n para todo n grande e \lim a_n=\lim b_n=L, então \lim x_n=L. No nosso caso a_n=-\tfrac{1}{n^{2}}, x_n=\dfrac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1} e b_n=\tfrac{1}{n^{2}}, e ambos a_n e b_n têm limite 0. Portanto a sequência x_n também tem limite 0.

Passo 7

(Observação alternativa, mais direta) Usando valor absoluto temos
\left|\frac{n^{3}\sin n!}{n^{5}+1}\right| \le \frac{n^{3}\,|\sin n!|}{n^{5}+1} \le \frac{n^{3}}{n^{5}+1} \le \frac{1}{n^{2}},
e como \tfrac{1}{n^{2}}\to0, segue que o valor absoluto da sequência tende a 0, o que também implica que a própria sequência tende a 0. Bom trabalho — o raciocínio essencial é usar que \sin é limitado e que o denominador cresce mais rápido do que o numerador.

Resposta

0

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