Usando o método de Laplace, resolva as equações integrais:
\int_{0}^{t} y(u) \operatorname{sen}(t-u) d u=y(t)+\sin t-\cos t

Passo 1

O enunciado dá a equação integral para uma função desconhecida y(t):
\int_{0}^{t} y(u)\,\operatorname{sen}(t-u)\,du = y(t) + \sin t - \cos t.
O que se pede: determinar explicitamente y(t) (para t\ge 0) que satisfaça essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral é uma convolução entre y(\cdot) e \operatorname{sen}(\cdot), pois o integrando tem a forma y(u)\,\operatorname{sen}(t-u).
  • O membro direito é y(t)+\sin t-\cos t.
  • A equação vale para t\ge 0 (assume-se o domínio habitual para transformada de Laplace).

Passo 2

Vou explicar a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace e o teorema da convolução — são muito úteis para resolver equações integrais de convolução.
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (comportamento adequado),
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Propriedades que usaremos:
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}(s)=a\mathcal{L}\{f\}(s)+b\mathcal{L}\{g\}(s).
  • Teorema da convolução: se (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(u)g(t-u)\,du, então
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\cdot\mathcal{L}\{g\}(s).
Transformadas padrão que vamos precisar (válidas para \Re(s)>0):
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1},\qquad \mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1},
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
Observação didática rápida: a transformada converte convolução em produto, então transforma a integral do lado esquerdo em \mathcal{L}\{y\}(s)\cdot \mathcal{L}\{\sin t\}(s). Isso simplifica muito a equação.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada. Denoto Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s).
Aplicando \mathcal{L} ao lado esquerdo (convolução):
\mathcal{L}\!\left\{\int_{0}^{t} y(u)\,\operatorname{sen}(t-u)\,du\right\}(s) = \mathcal{L}\{y\}(s)\cdot \mathcal{L}\{\sin t\}(s) = Y(s)\cdot\frac{1}{s^{2}+1}.
Aplicando \mathcal{L} ao lado direito:
\mathcal{L}\{y(t)+\sin t-\cos t\}(s)=Y(s)+\frac{1}{s^{2}+1}-\frac{s}{s^{2}+1}.
Igualando as duas transformadas:
Y(s)\cdot\frac{1}{s^{2}+1}=Y(s)+\frac{1}{s^{2}+1}-\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 4

Resolvendo a equação algébrica para Y(s). Multiplico ambos os lados por s^{2}+1 para eliminar denominadores:
Y(s)=\bigl(s^{2}+1\bigr)Y(s)+1-s.
Agrupo os termos com Y(s):
Y(s)-\bigl(s^{2}+1\bigr)Y(s)=1-s.
Isso dá
\bigl(1-(s^{2}+1)\bigr)Y(s)=1-s \quad\Rightarrow\quad -s^{2}Y(s)=1-s.
Portanto
Y(s)=\frac{1-s}{-s^{2}}=\frac{s-1}{s^{2}}.

Passo 5

Agora inverto a transformada para obter y(t). Faço uma decomposição simples:
Y(s)=\frac{s}{s^{2}}-\frac{1}{s^{2}}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}.
Usando pares conhecidos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}(t)=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}(t)=t,
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y(t)=1-t,\qquad t\ge 0.

Passo 6

Verificação direta (opcional, mas útil para ganhar confiança). Vou verificar substituindo y(t)=1-t na integral original:
Calcule
\int_{0}^{t} y(u)\,\sin(t-u)\,du =\int_{0}^{t} (1-u)\,\sin(t-u)\,du.
Faço a mudança de variável v=t-u, obtendo
\int_{0}^{t} (1-t+v)\sin v\,dv =(1-t)\int_{0}^{t}\sin v\,dv+\int_{0}^{t} v\sin v\,dv.
Sabendo \int_{0}^{t}\sin v\,dv=1-\cos t e calculando por partes \int_{0}^{t} v\sin v\,dv=-t\cos t+\sin t, obtemos
(1-t)(1-\cos t)+(-t\cos t+\sin t)=1-t+\sin t-\cos t,
que é exatamente o lado direito y(t)+\sin t-\cos t. Logo a solução está correta.

Resposta

y(t)=1-t

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