Usando o método de Laplace, resolva as equações integrais:
Passo 1
O enunciado dá a equação integral para uma função desconhecida
:
O que se pede: determinar explicitamente
(para
) que satisfaça essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
- A integral é uma convolução entre
e , pois o integrando tem a forma . - O membro direito é
. - A equação vale para
(assume-se o domínio habitual para transformada de Laplace).
Passo 2
Vou explicar a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace e o teorema da convolução — são muito úteis para resolver equações integrais de convolução.
Definição da transformada de Laplace: para uma função
(comportamento adequado),
Propriedades que usaremos:
- Linearidade:
. - Teorema da convolução: se
, então
Transformadas padrão que vamos precisar (válidas para
):
Observação didática rápida: a transformada converte convolução em produto, então transforma a integral do lado esquerdo em
. Isso simplifica muito a equação.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada. Denoto
.
Aplicando
ao lado esquerdo (convolução):
Aplicando
ao lado direito:
Igualando as duas transformadas:
Passo 4
Resolvendo a equação algébrica para
. Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Agrupo os termos com
:
Isso dá
Portanto
Passo 5
Agora inverto a transformada para obter
. Faço uma decomposição simples:
Usando pares conhecidos:
logo
Passo 6
Verificação direta (opcional, mas útil para ganhar confiança). Vou verificar substituindo
na integral original:
Calcule
Calcule
Faço a mudança de variável
, obtendo
Sabendo
e calculando por partes
, obtemos
que é exatamente o lado direito
. Logo a solução está correta.