Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado: f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-x^{2}, \text { se } x<2 \\\ x-5, \quad \text { se } x>2 \quad \text { em } a=2 . \\\\ 0, \quad \text { se } x=2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função é contínua no ponto a=2. As informações dadas são:
Para x<2: f(x)=1-x^{2}.
Para x>2: f(x)=x-5.
Para x=2: f(2)=0.
A pergunta específica é: a função f é contínua em a=2?
Passo 2
Recordando a definição prática de continuidade num ponto: uma função f é contínua em a se e somente se existir o limite \lim_{x\to a}f(x) e ele for igual ao valor da função no ponto, isto é,
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Para uma função definida por partes, é útil calcular as duas limites laterais:
Como \lim_{x\to 2^-}f(x)=-3 e \lim_{x\to 2^+}f(x)=-3, as duas limites laterais são iguais, logo o limite total existe e
\lim_{x\to 2}f(x)=-3.
O valor da função no ponto dado pelo enunciado é
f(2)=0.
Passo 6
Comparando: o limite quando x\to2 é -3 enquanto f(2)=0. Esses números são diferentes, portanto a condição de continuidade (\lim_{x\to2}f(x)=f(2)) não é satisfeita.
Resposta
A função não é contínua em a=2. \lim_{x\to2}f(x)=-3 e f(2)=0; trata-se de uma descontinuidade removível.