Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-x^{2}, \text { se } x<2 \\\ x-5, \quad \text { se } x>2 \quad \text { em } a=2 . \\\\ 0, \quad \text { se } x=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função é contínua no ponto a=2. As informações dadas são:
  • Para x<2: f(x)=1-x^{2}.
  • Para x>2: f(x)=x-5.
  • Para x=2: f(2)=0.
A pergunta específica é: a função f é contínua em a=2?

Passo 2

Recordando a definição prática de continuidade num ponto: uma função f é contínua em a se e somente se existir o limite \lim_{x\to a}f(x) e ele for igual ao valor da função no ponto, isto é,
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Para uma função definida por partes, é útil calcular as duas limites laterais:
\lim_{x\to a^-}f(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to a^+}f(x).
Se as duas existirem e forem iguais, então \lim_{x\to a}f(x) existe e vale esse número; depois comparamos com f(a).

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda (usar a expressão válida para x<2):
\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}\bigl(1-x^{2}\bigr).
Aqui 1-x^{2} é um polinômio e polinômios são contínuos em todo lugar, então basta substituir x=2:
\lim_{x\to 2^-}\bigl(1-x^{2}\bigr)=1-2^{2}=1-4=-3.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita (usar a expressão válida para x>2):
\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\bigl(x-5\bigr).
A função x-5 é contínua, então substituímos x=2:
\lim_{x\to 2^+}\bigl(x-5\bigr)=2-5=-3.

Passo 5

Como \lim_{x\to 2^-}f(x)=-3 e \lim_{x\to 2^+}f(x)=-3, as duas limites laterais são iguais, logo o limite total existe e
\lim_{x\to 2}f(x)=-3.
O valor da função no ponto dado pelo enunciado é
f(2)=0.

Passo 6

Comparando: o limite quando x\to2 é -3 enquanto f(2)=0. Esses números são diferentes, portanto a condição de continuidade ( \lim_{x\to2}f(x)=f(2)) não é satisfeita.

Resposta

A função não é contínua em a=2. \lim_{x\to2}f(x)=-3 e f(2)=0; trata-se de uma descontinuidade removível.

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