Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a\) indicado: \(f(x)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen} x}{x}, & \text { se } x<0 \\\ \frac{\operatorname{tg} x}{x}, & \text { se } x>0 \quad \text { com } a=0 \text { . } \\\\ 1, & \text { se } x=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} \frac{\operatorname{sen}x}{x}, & \text{se } x<0,\\[6pt] \frac{\operatorname{tg}x}{x}, & \text{se } x>0,\\[6pt] 1, & \text{se } x=0, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua no ponto a=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição de f para x<0 é \dfrac{\operatorname{sen}x}{x}.
  • A definição de f para x>0 é \dfrac{\operatorname{tg}x}{x}.
  • O valor no ponto é f(0)=1.
  • Precisamos comparar o valor f(0) com os limites laterais \lim_{x\to0^-}f(x) e \lim_{x\to0^+}f(x).
O que o enunciado pede, de forma prática:
  • Calcular \lim_{x\to0^-}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}.
  • Calcular \lim_{x\to0^+}\dfrac{\operatorname{tg}x}{x}.
  • Verificar se ambos os limites existem e se são iguais a f(0)=1. Se sim, f é contínua em 0.]

Passo 2

Definição de continuidade (aula curta e prática). Uma função f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para verificar isso é suficiente mostrar que os limites laterais existem e coincidem com f(a):
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
Portanto, para nosso caso precisamos calcular os limites laterais em 0 e compará‑los com f(0)=1.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda:
Queremos \displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{\operatorname{sen}x}{x}.
Lembrete importante sobre a função \dfrac{\operatorname{sen}x}{x}: existe um limite clássico
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.
Vou provar essa igualdade de maneira elementar usando a desigualdade trigonométrica (prova com a regra do “aperta‑três” / squeeze):
Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade bem conhecida
\operatorname{sen}x < x < \operatorname{tg}x.
Dividindo essa desigualdade por x (positivo) e por \operatorname{sen}x quando necessário, obtemos
\cos x < \frac{\operatorname{sen}x}{x} < 1.
Agora, como \displaystyle\lim_{x\to0^+}\cos x=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
\lim_{x\to0^+}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.
Para o lado negativo, observe que a função x\mapsto \dfrac{\operatorname{sen}x}{x} é par, pois
\frac{\operatorname{sen}(-x)}{-x}=\frac{-\operatorname{sen}x}{-x}=\frac{\operatorname{sen}x}{x}.
Assim o limite pela esquerda coincide com o limite pela direita, logo
\lim_{x\to0^-}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita:
Queremos \displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\operatorname{tg}x}{x}.
Use a identidade \operatorname{tg}x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x}. Então, para x próximo de 0 com x>0,
\frac{\operatorname{tg}x}{x}=\frac{\operatorname{sen}x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Agora aplicamos propriedades básicas de limites: se \lim_{x\to0^+}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1 (mostrado no passo anterior) e \lim_{x\to0^+}\cos x=1 (porque \cos é contínua), então o limite do produto é o produto dos limites. Assim
\lim_{x\to0^+}\frac{\operatorname{tg}x}{x}=\left(\lim_{x\to0^+}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to0^+}\frac{1}{\cos x}\right)=1\cdot\frac{1}{1}=1.
Observação prática: a função \operatorname{tg}x tem descontinuidades em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, mas isso não importa aqui porque estamos analisando x perto de 0, onde \operatorname{tg}x está bem definida.

Passo 5

Conclusão dos limites laterais:
Encontramos
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\operatorname{tg}x}{x}=1.
Como ambos os limites laterais existem e são iguais a 1, o limite total existe e vale 1:
\lim_{x\to0}f(x)=1.
Comparando com o valor dado pela função no ponto, f(0)=1, temos \lim_{x\to0}f(x)=f(0).

Passo 6

Interpretação final (aviso amigo e encorajador): portanto a função não apresenta surpresa em 0 — os ramos esquerdo e direito se “encaixam” perfeitamente no valor 1 que foi definido no ponto. Isso significa que, na hora da prova, basta lembrar do limite clássico \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1 e da relação \operatorname{tg}x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x} para concluir rapidamente.

Resposta

A função é contínua em a=0.

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