Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a\) indicado:
\(f(x)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen} x}{x}, & \text { se } x<0 \\\ \frac{\operatorname{tg} x}{x}, & \text { se } x>0 \quad \text { com } a=0 \text { . } \\\\ 1, & \text { se } x=0\end{cases}
Agora aplicamos propriedades básicas de limites: se \lim_{x\to0^+}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1 (mostrado no passo anterior) e \lim_{x\to0^+}\cos x=1 (porque \cos é contínua), então o limite do produto é o produto dos limites. Assim
Observação prática: a função \operatorname{tg}x tem descontinuidades em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, mas isso não importa aqui porque estamos analisando x perto de 0, onde \operatorname{tg}x está bem definida.
Como ambos os limites laterais existem e são iguais a 1, o limite total existe e vale 1:
\lim_{x\to0}f(x)=1.
Comparando com o valor dado pela função no ponto, f(0)=1, temos \lim_{x\to0}f(x)=f(0).
Passo 6
Interpretação final (aviso amigo e encorajador): portanto a função não apresenta surpresa em 0 — os ramos esquerdo e direito se “encaixam” perfeitamente no valor 1 que foi definido no ponto. Isso significa que, na hora da prova, basta lembrar do limite clássico \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1 e da relação \operatorname{tg}x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x} para concluir rapidamente.