Usando a propriedade da derivada, mostre que a transformada de Laplace da função f(t)=t cos omega t é dada por
Lf(t)=s^2-omega^2(s^2+omega^2)^2

Passo 1

Beleza, a questão pede pra usar a propriedade de derivada da transformada de Laplace pra encontrar
L,tcosomega t
O conteúdo aqui é: transformada de Laplace e, em especial, a propriedade
Lt,f(t) = -ddsl[Lf(t)r]
Vamos precisar saber a transformada básica de cosomega t e depois diferenciar em relação a s.

Passo 2

Primeiro, lembra que
Lcosomega t = integral0^inftye^-stcosomega t,dt = ss^2+omega^2
Isso é padrão na tabela de Laplace.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de derivada: se F(s)=Lcosomega t=dfracss^2+omega^2, então
Ltcosomega t = -dds! l[F(s)r]

Passo 4

Vamos diferenciar
F(s)=ss^2+omega^2
usando a regra do quociente. Seja
u(s)=s, v(s)=s^2+omega^2
Então
F'(s)=u'v - u,v'v^2 = 1cdot(s^2+omega^2) - scdot(2s)(s^2+omega^2)^2 = s^2+omega^2 - 2s^2(s^2+omega^2)^2 = omega^2 - s^2(s^2+omega^2)^2

Passo 5

Como temos o menos lá na propriedade, ficamos com
Ltcosomega t = -F'(s) = -omega^2 - s^2(s^2+omega^2)^2 = s^2 - omega^2(s^2+omega^2)^2

Resposta

boxedLtcosomega t = s^2-omega^2(s^2+omega^2)^2,

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