Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
No enunciado temos a equação de calor com coeficiente de difusão dependente do tempo:
, para
e
, com condição inicial
. O conteúdo aqui é usar a transformada de Fourier em
e depois resolver uma EDO em
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier espacial de
como
e usamos a propriedade de que
. Aplicando em
, obtemos
Isso reduz o PDE a uma EDO em
para cada frequência
.
Passo 3
A EDO é linear de primeira ordem:
A solução geral usa fator integrante ou separação de variáveis. Definindo
temos a solução
onde
é a transformada de
.
Passo 4
Para voltar ao domínio
, aplicamos a transformada inversa:
Esse integral é reconhecido como convolução de
com um núcleo gaussiano. Usando a fórmula padrão, o núcleo é
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