Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
l ut=a(t) ux x u(x, 0)=f(x), , a(t)>0

Passo 1

No enunciado temos a equação de calor com coeficiente de difusão dependente do tempo: ut = a(t),uxx, para -infty < x < infty e t>0, com condição inicial u(x,0)=f(x). O conteúdo aqui é usar a transformada de Fourier em x e depois resolver uma EDO em t.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier espacial de u(x,t) como
widehat u(k,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ikx,dx,
e usamos a propriedade de que Fuxx = -k^2widehat u. Aplicando em ut = a(t)uxx, obtemos
partialtwidehat u(k,t) = -a(t),k^2,widehat u(k,t)
Isso reduz o PDE a uma EDO em t para cada frequência k.

Passo 3

A EDO é linear de primeira ordem:
ddtwidehat u + a(t),k^2,widehat u = 0
A solução geral usa fator integrante ou separação de variáveis. Definindo
b(t)=integral0^t a(s),ds,
temos a solução
widehat u(k,t)=widehat f(k),e^-k^2,b(t),
onde widehat f(k) é a transformada de f(x).

Passo 4

Para voltar ao domínio x, aplicamos a transformada inversa:
u(x,t)=12piintegral-infty^inftywidehat f(k),e^-k^2 b(t),e^ikx,dk
Esse integral é reconhecido como convolução de f com um núcleo gaussiano. Usando a fórmula padrão, o núcleo é
G(x,t)=1raiz4pi,b(t)expgl(-x^24,b(t)gr)
Logo,
u(x,t)=integral-infty^inftyG(x-xi,t),f(xi),dxi

Resposta

u(x,t)=integral-infty^infty1raiz4pi,b(t)expl(-(x-xi)^24,b(t)r),f(xi),dxi, onde b(t)=integral0^t a(s),ds.

Exercícios relacionados