Para a função f(x)=e^-x^2 faça:
(d) determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade e pontos de inflexão;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente determinar os candidatos a pontos de inflexão da função $ f(x) = e{-x{2}} $, além de estudar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Precisamos encontrar a segunda derivada da função, pois ela nos ajuda a entender onde a função muda de concavidade, que são justamente os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A função é $ f(x) = e{-x{2}} $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} \cdot u’ $, onde $ u = -x^{2} $.
Então:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $, que nos ajudará a determinar a concavidade da função. Derivamos $ f’(x) = -2x e{-x{2}} $ novamente usando a regra do produto.
Seja $ u = -2x $ e $ v = e{-x{2}} $. Então:
f''(x)
Aplicando a regra do produto:
f'(x) = -2x e^-x^2
Simplificando:
u = -2x

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos identificar onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Isso ocorre onde $ f’’(x) = 0 $ ou onde $ f’’(x) $ não está definida. Como $ e{-x{2}} $ nunca é zero e está sempre definida, focamos em resolver:
f''(x) = 0
Resolvendo para $ x $:
f''(x)

Passo 5

Agora, vamos verificar a concavidade em cada intervalo determinado pelos valores críticos $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
  1. Para $ x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $:
    • Escolha $ x = -1 $:
    x = -raiz22
    Concavidade para cima.
  2. Para $ -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} $:
    • Escolha $ x = 0 $:
    x = raiz22
    Concavidade para baixo.
  3. Para $ x > \frac{\sqrt{2}}{2} $:
    • Escolha $ x = 1 $:
    x < -raiz22
    Concavidade para cima.

Passo 6

Observamos que a concavidade muda de cima para baixo em $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e de baixo para cima em $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Portanto, esses pontos são pontos de inflexão.

Resposta

Os candidatos a pontos de inflexão da função $ f(x) = e{-x{2}} $ são $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. A concavidade é para cima nos intervalos $ x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x > \frac{\sqrt{2}}{2} $, e para baixo no intervalo $ -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} $. Portanto, os pontos de inflexão são $ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-1/2}\right) $ e $ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-1/2}\right) $.

Exercícios relacionados