Para a função
faça:
(d) determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade e pontos de inflexão;
(d) determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade e pontos de inflexão;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente determinar os candidatos a pontos de inflexão da função $ f(x) = e{-x{2}} $, além de estudar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Precisamos encontrar a segunda derivada da função, pois ela nos ajuda a entender onde a função muda de concavidade, que são justamente os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A função é $ f(x) = e{-x{2}} $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} \cdot u’ $, onde $ u = -x^{2} $.
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $, que nos ajudará a determinar a concavidade da função. Derivamos $ f’(x) = -2x e{-x{2}} $ novamente usando a regra do produto.
Seja $ u = -2x $ e $ v = e{-x{2}} $. Então:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos identificar onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Isso ocorre onde $ f’’(x) = 0 $ ou onde $ f’’(x) $ não está definida. Como $ e{-x{2}} $ nunca é zero e está sempre definida, focamos em resolver:
Resolvendo para $ x $:
Passo 5
Agora, vamos verificar a concavidade em cada intervalo determinado pelos valores críticos $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
-
Para $ x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $:
- Escolha $ x = -1 $:
Concavidade para cima. -
Para $ -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} $:
- Escolha $ x = 0 $:
Concavidade para baixo. -
Para $ x > \frac{\sqrt{2}}{2} $:
- Escolha $ x = 1 $:
Concavidade para cima.
Passo 6
Observamos que a concavidade muda de cima para baixo em $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e de baixo para cima em $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Portanto, esses pontos são pontos de inflexão.
Resposta
Os candidatos a pontos de inflexão da função $ f(x) = e{-x{2}} $ são $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. A concavidade é para cima nos intervalos $ x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ x > \frac{\sqrt{2}}{2} $, e para baixo no intervalo $ -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2} $. Portanto, os pontos de inflexão são $ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-1/2}\right) $ e $ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, e^{-1/2}\right) $.