Use transformada de Fourier para resolver as seguintes EDPs com valores de contorno.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação do calor
com condição inicial
Vamos usar a transformada de Fourier em
para reduzir a PDE a uma ODE em
.
Passo 2
Definimos
Como
e
, a PDE transforma-se em
Passo 3
A ODE em
é
cuja solução é
onde
Passo 4
Fazendo a transformada inversa,
Este é exatamente o formato de convolução da condição inicial com o núcleo gaussiano do calor.
Passo 5
Reconhecendo a convolução, escrevemos