Use transformada de Fourier para resolver as seguintes EDPs com valores de contorno.
\left\{\begin{array}{l}k \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u}{\partial t},-\infty<x<\infty, t>0, \\\ u(x, 0)=e^{-|x|}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação do calor
\frac{\partial u}{\partial t}=k\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\quad -\infty<x<\infty,\;t>0,
com condição inicial
u(x,0)=e^{-|x|}.
Vamos usar a transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma ODE em t.

Passo 2

Definimos
U(\xi,t)=\mathcal{F}\{u(\cdot,t)\}(\xi) =\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,e^{-i\xi x}\,dx.
Como \mathcal{F}\{u_t\}=\partial_tU e \mathcal{F}\{u_{xx}\}=-\xi^2U, a PDE transforma-se em
\frac{\partial U}{\partial t}(\xi,t) =-k\,\xi^2\,U(\xi,t).

Passo 3

A ODE em t é
\partial_tU + k\,\xi^2U=0,
cuja solução é
U(\xi,t)=U_0(\xi)\,e^{-k\xi^2t},
onde
U_0(\xi) =\mathcal{F}\{u(x,0)\} =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-i\xi x}dx =\frac{1}{1+i\xi}+\frac{1}{1-i\xi} =\frac{2}{1+\xi^2}.

Passo 4

Fazendo a transformada inversa,
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} U(\xi,t)\,e^{i\xi x}\,d\xi =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{1+\xi^2}\,e^{-k\xi^2t}\,e^{i\xi x}\,d\xi.
Este é exatamente o formato de convolução da condição inicial com o núcleo gaussiano do calor.

Passo 5

Reconhecendo a convolução, escrevemos
u(x,t) =\frac{1}{2\sqrt{\pi k t}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\Bigl(-\frac{(x-y)^2}{4k\,t}\Bigr)\,e^{-|y|}\,dy.

Resposta

u(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi k t}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\Bigl(-\frac{(x-y)^2}{4k\,t}\Bigr)\,e^{-|y|}\,dy.

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