Dada a EDO de 1ª ^ a Ordem
x d yd x+y=x^3 y^3, x neq 0
Resolva tal EDO pelo método de solução de EDO de Bernoulli.

Passo 1

O enunciado diz que temos a EDO de primeira ordem xdydx+y = x^3y^3, xneq0. Isso é um caso da EDO de Bernoulli com a forma dydx+P(x)y = Q(x)y^n, onde identificamos P(x)=1x, Q(x)=x^2 e n=3. Vamos usar o método de Bernoulli para resolver.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão dividindo tudo por x: dydx+1x,y = x^2y^3,

Passo 3

No método de Bernoulli fazemos a substituição v = y^1-n = y^1-3 = y^-2, Precisamos expressar dv/dx em função de dy/dx: Sabendo que v=y^-2implies dv/dx = -2y^-3,dy/dx,, e substituindo y^-3dy/dx da equação original reescrita, obtemos a EDO linear em v:
Substituindo na forma padrão: dv/dx + (1-n)P(x),v = (1-n)Q(x)
aqui 1-n = -2, então
dv/dx - 2xv = -2x^2,

Passo 4

Agora calculamos o fator integrante mu(x) = expl(integral -2xdxr) = exp(-2ln|x|) = x^-2,

Passo 5

Multiplicamos a equação linear por mu(x): x^-2dvdx - 2x^-3v = -2,, o que é equivalente a ddxl(vx^-2r) = -2,

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x: v x^-2 = integral -2,dx = -2x + C,, então v = -2x^3 + Cx^2 = x^2l(C - 2xr),

Passo 7

Voltando à variável y, lembrando que v = y^-2,, temos y^-2 = x^2(C - 2x) implies y^2 = 1x^2(C - 2x),

Passo 8

Portanto a solução geral é y(x) = pm1xraizC - 2x,, onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = \pm \dfrac{1}{x\sqrt{C - 2x}}

Exercícios relacionados