Usando os multiplicadores de Lagrange:
a) Minimize a superfície de uma caixa de base quadrada de volume 8 dm^3
b) Encontre os valores extremos da função f(x, y)=x^2 y com a restrição x^2+8 y^2=24
c) Seja T(x, y)=2 x^2+y^2-y a temperatura em qualquer ponto da região do disco x^2+y^2=1. Encontre o ponto mais quente e o mais frio do disco.

Passo 1

O enunciado traz três problemas que usam multiplicadores de Lagrange: a) minimizar a área de superfície de uma caixa de base quadrada sujeita a volume fixo de 8 dm³; b) achar extremos de f(x,y)=x^2y com restrição x^2+8y^2=24; c) encontrar pontos de temperatura extrema de T(x,y)=2x^2+y^2-y no disco x^2+y^2<=1. Vamos montar para cada caso a função de Lagrange e resolver.

Passo 2

Para o item a), seja a o lado da base e h a altura. Temos o volume V=a^2h=8 e a área de superfície
S=2a^2+4ah
Montamos
, L(a,h,lambda)=2a^2+4ah+lambda(a^2h-8)
As derivadas nulas dão
4a+4h+lambda,2ah=0, 4a+lambda a^2=0, a^2h-8=0
Dessas equações segue h=a e a^3=8, logo a=h=2 e Smin=2cdot2^2+4cdot2cdot2=24,dm^2.

Passo 3

No item b), definimos
L(x,y,lambda)=x^2y+lambda(x^2+8y^2-24)
As condições nabla f=lambdanabla g geram
2xy=2lambda x, x^2=16lambda y, x^2+8y^2=24
Para xneq0 obtém-se lambda=y e x^2=16y^2, de onde x=pm4y. Substituindo na restrição achamos y=pm1 e x=pm4. Assim os extremos são: máximos f=16 em (4,1) e (-4,1); mínimos f=-16 em (4,-1) e (-4,-1).

Passo 4

No item c), primeiro achamos crítico interior por nabla T=(4x,2y-1)=0, resultando em (0,1/2), que fica dentro do disco e dá T=-1/4. No contorno x^2+y^2=1 usamos Lagrange:
(4x,2y-1)=lambda(2x,2y)
De 4x=2lambda x vem lambda=2 (se xneq0), e então 2y-1=4y implica y=-1/2 e x=pmraiz3/2. Há também os pontos (0,pm1). Avaliando
T(pmtfracraiz32,-tfrac12)=tfrac94, T(0,1)=0, T(0,-1)=2,
além de T(0,1/2)=-1/4. Logo o ponto mais frio é (0,1/2) e o mais quente é (pmtfracraiz32,-tfrac12).

Resposta

a) Lado a=2,dm, altura h=2,dm, área mínima Smin=24,dm^2. b) Máximos f=16 em (4,1) e (-4,1); mínimos f=-16 em (4,-1) e (-4,-1). c) Temperatura mínima T=-tfrac14 em (0,tfrac12); temperatura máxima T=tfrac94 em l(pmtfracraiz32,-tfrac12r).

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