Usando os multiplicadores de Lagrange:
a) Minimize a superfície de uma caixa de base quadrada de volume
b) Encontre os valores extremos da função com a restrição
c) Seja a temperatura em qualquer ponto da região do disco . Encontre o ponto mais quente e o mais frio do disco.
Passo 1
O enunciado traz três problemas que usam multiplicadores de Lagrange: a) minimizar a área de superfície de uma caixa de base quadrada sujeita a volume fixo de 8 dm³; b) achar extremos de com restrição ; c) encontrar pontos de temperatura extrema de no disco . Vamos montar para cada caso a função de Lagrange e resolver.
Passo 2
Para o item a), seja o lado da base e a altura. Temos o volume e a área de superfície
Montamos
As derivadas nulas dão
Dessas equações segue h=a e a^3=8, logo a=h=2 e Smin=2cdot2^2+4cdot2cdot2=24,dm^2.
Passo 3
No item b), definimos
L(x,y,lambda)=x^2y+lambda(x^2+8y^2-24)
As condições nabla f=lambdanabla g geram
2xy=2lambda x, x^2=16lambda y, x^2+8y^2=24
Para xneq0 obtém-se lambda=y e x^2=16y^2, de onde x=pm4y. Substituindo na restrição achamos y=pm1 e x=pm4. Assim os extremos são: máximos f=16 em (4,1) e (-4,1); mínimos f=-16 em (4,-1) e (-4,-1).
Passo 4
No item c), primeiro achamos crítico interior por nabla T=(4x,2y-1)=0, resultando em (0,1/2), que fica dentro do disco e dá T=-1/4. No contorno x^2+y^2=1 usamos Lagrange:
(4x,2y-1)=lambda(2x,2y)
De 4x=2lambda x vem lambda=2 (se xneq0), e então 2y-1=4y implica y=-1/2 e x=pmraiz3/2. Há também os pontos (0,pm1). Avaliando
além de T(0,1/2)=-1/4. Logo o ponto mais frio é (0,1/2) e o mais quente é (pmtfracraiz32,-tfrac12).
Resposta
a) Lado a=2,dm, altura h=2,dm, área mínima Smin=24,dm^2. b) Máximos f=16 em (4,1) e (-4,1); mínimos f=-16 em (4,-1) e (-4,-1). c) Temperatura mínima T=-tfrac14 em (0,tfrac12); temperatura máxima T=tfrac94 em l(pmtfracraiz32,-tfrac12r).