Determine o diferencial total da função
a) z=x e^2 y+e^-x y^2
b) z=3 ln (x y)+y sen(x)
c) z=e^2 x cos (y)+e^-2 x cos (x)

Passo 1

O enunciado pede o diferencial total de três funções de duas variáveis (x,y). Vamos usar o conceito de diferencial total, que requer calcular as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y e montar
dz = zx,dx + zy,dy

Passo 2

Para a função a) z = x e^2y + e^-x y^2, aplicamos:
partial zpartial x = e^2y - y^2 e^-x y^2,
partial zpartial y = 2x e^2y - 2xy e^-x y^2
Assim
dz = (e^2y - y^2 e^-x y^2),dx + (2x e^2y - 2xy e^-x y^2),dy

Passo 3

Para a função b) z = 3ln(xy) + ysin(x), primeiro lembramos que ln(xy)=ln x + ln y. Então:
partial zpartial x = 3x + ycos x,
partial zpartial y = 3y + sin x
Logo
dz = l(3x + ycos xr),dx + l(3y + sin xr),dy

Passo 4

Para a função c) z = e^2xcos y + e^-2xcos x, temos usando produto e cadeia:
partial zpartial x = 2e^2xcos y - e^-2xsin x - 2e^-2xcos x,
partial zpartial y = -e^2xsin y
Portanto
dz = l(2e^2xcos y - e^-2x(sin x + 2cos x)r),dx - e^2xsin y,dy

Resposta

a) dz = (e^2y - y^2 e^-x y^2),dx + (2x e^2y - 2xy e^-x y^2),dy
b) dz = (3/x + ycos x),dx + (3/y + sin x),dy
c) dz = l(2e^2xcos y - e^-2x(sin x + 2cos x)r),dx - e^2xsin y,dy

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