Usando números binários de 5 bits, você sabe escrever a sequência de números binários correspondente aos números de -8_{10} \mathrm{a}+7_{10} ?

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a sequência dos números binários de 5 bits correspondentes aos inteiros de -8_{10} a +7_{10}. Informações dadas e objetivo claro:
  • Largura dos números binários: 5 bits.
  • Intervalo decimal a representar: todos os inteiros de -8 até +7 (inclusive).
  • Resultado esperado: uma sequência de representações binárias de 5 bits, uma para cada inteiro desse intervalo.

Passo 2

Escolha do método (sem dramatizar): para representar inteiros negativos em binário de comprimento fixo a convenção mais usada e prática é a representação em complemento de dois. Vou usá-la porque:
  • É padrão em computação (operações aritméticas ficam simples).
  • Garante uma única representação para zero.
  • É direta de aplicar com N bits: o intervalo que se pode representar é -2^{N-1} até 2^{N-1}-1. Para N=5 isso dá -2^{4} até 2^{4}-1, ou seja, -16 até +15, portanto o intervalo pedido ( -8 a +7) cabe perfeitamente.
    Regra prática que vou usar: para um inteiro não negativo, escrever sua forma binária e completar com zeros à esquerda até 5 bits; para um inteiro negativo -x, obter a representação de x em 5 bits, inverter todos os bits (ones’ complement) e somar 1 (essa é a operação de complemento de dois).

Passo 3

Como converter inteiros não negativos em binário de 5 bits (método rápido e exemplo):
  • Convertendo por pesos: um número em 5 bits é b_4 b_3 b_2 b_1 b_0 e vale b_4 2^{4}+b_3 2^{3}+b_2 2^{2}+b_1 2^{1}+b_0 2^{0}.
  • Para números pequenos (0 a 7) basta escrever a expansão em potência de dois e completar com zeros à esquerda.
    Exemplo concreto (já pronto para usar):
  • 0 = 00000_2
  • 1 = 00001_2
  • 2 = 00010_2
  • 3 = 00011_2
  • 4 = 00100_2
  • 5 = 00101_2
  • 6 = 00110_2
  • 7 = 00111_2

Passo 4

Como obter a representação de um negativo -x em complemento de dois (explicação didática):
  • Pegue a representação de x em 5 bits (já vista no passo anterior).
  • Inverta todos os bits: cada 0 vira 1 e cada 1 vira 0. Isso é o complemento de um (ones’ complement).
  • Some 1 ao resultado (em aritmética binária com transporte), obtendo o complemento de dois, que representa -x.
    Por que funciona (breve intuição): em N bits a soma entre x e a sua forma em complemento de dois interpreta-se como x+(2^{N}-x)=2^{N}, que em aritmética modular de N bits é congruente a 0, então essa forma representa bem o negativo. Não precisa decorar mais que: inverter + 1 = negativo.

Passo 5

Aplicando passo a passo aos negativos do intervalo: vou mostrar dois exemplos detalhados e depois listar os demais.
Exemplo 1: representar -1.
  • 1 em 5 bits é 00001_2.
  • Invertendo: 11110_2.
  • Somando 1: 11110_2 + 00001_2 = 11111_2.
    Logo -1 é 11111_2.
    Exemplo 2: representar -8.
  • 8 em 5 bits é 01000_2.
  • Invertendo: 10111_2.
  • Somando 1: 10111_2 + 00001_2 = 11000_2.
    Logo -8 é 11000_2.
    Agora, seguindo o mesmo procedimento (ou observando o padrão de contagem do complemento de dois), as demais representações negativas entre -8 e -1 serão:
  • -7 = 11001_2
  • -6 = 11010_2
  • -5 = 11011_2
  • -4 = 11100_2
  • -3 = 11101_2
  • -2 = 11110_2

Passo 6

Verificação rápida (como checar na prova sem calculadora):
  • Interpretação de um padrão dois’s complement: o bit mais significativo ( b_4) tem peso negativo -2^{4}, então por exemplo 11000_2 = -2^{4} + 1\cdot2^{3} + 0 + 0 + 0 = -16 + 8 = -8,e 11111_2 = -2^{4} + 2^{3}+2^{2}+2^{1}+2^{0} = -16 + 8+4+2+1 = -1.
  • Para positivos, soma normal: 00111_2 = 0\cdot16 +0\cdot8 +1\cdot4 +1\cdot2 +1\cdot1 = 7.
    Isso confirma que as representações acima são corretas.

Resposta

-8 \mapsto 11000_2
-7 \mapsto 11001_2
-6 \mapsto 11010_2
-5 \mapsto 11011_2
-4 \mapsto 11100_2
-3 \mapsto 11101_2
-2 \mapsto 11110_2
-1 \mapsto 11111_2
0 \mapsto 00000_2
1 \mapsto 00001_2
2 \mapsto 00010_2
3 \mapsto 00011_2
4 \mapsto 00100_2
5 \mapsto 00101_2
6 \mapsto 00110_2
7 \mapsto 00111_2

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