Supondo números binários com sinal:
Com 8 bits
  • Quantos valores diferentes podem ser representados?
  • Que faixa de valores pode ser representada?

Passo 1

O enunciado diz: trabalhar com números binários com sinal usando 8 bits. Pergunta-se:
  • Quantos valores diferentes podem ser representados?
  • Qual a faixa de valores que pode ser representada?
Informações explícitas do enunciado:
  • Número de bits disponíveis: 8.
  • Os números são com sinal (ou seja, parte dos padrões binários representam números negativos).

Passo 2

Escolha do método (por que usar este método): o jeito mais comum e mais usado em exercícios e em computadores para representar inteiros com sinal é a representação em complemento de dois (two’s complement). Vou usar essa representação porque:
  • É a representação padrão em arquitetura de computadores.
  • Não cria dois zeros (não existe -0 distinto de +0).
  • Permite somas e subtrações com a mesma lógica de números sem sinal, o que simplifica cálculos na prova.
Se em algum exercício o enunciado explicitamente pedir outro esquema (por exemplo, sinal-magnitude ou complemento de um), aí seria diferente — aqui o enunciado não pediu outro esquema, então usamos complemento de dois.

Passo 3

Quantos valores diferentes podem ser representados (contagem geral):
Cada um dos 8 bits pode assumir 2 valores ( 0 ou 1). Portanto o total de padrões diferentes é
2^{8}.
Calcule isso:
2^{8}=256.
Observação importante: esse número de padrões 256 não depende do esquema de sinal — com 8 bits há sempre 256 padrões possíveis; o que muda é a que valor inteiro cada padrão corresponde.

Passo 4

Definição prática do complemento de dois (como interpretar um padrão de 8 bits):
Denotando os bits por \,b_{7}b_{6}b_{5}b_{4}b_{3}b_{2}b_{1}b_{0}\, com b_{7} sendo o bit mais significativo (MSB, sinal), o valor inteiro representado em complemento de dois é
\text{valor} = -\,b_{7}\,2^{7} + \sum_{i=0}^{6} b_{i}\,2^{i}.
Aqui:
  • b_{i} \in\{0,1\} é o bit na posição i (posição 0 é o bit menos significativo).
  • Se b_{7}=0 o número é não negativo e sua interpretação reduz-se à soma usual dos pesos binários.
  • Se b_{7}=1 o termo -b_{7}2^{7} introduz o deslocamento negativo que produz os números negativos.

Passo 5

Calcular o maior valor representável (caso positivo máximo):
O máximo ocorre quando b_{7}=0 e todos os outros bits valem 1. Então
\text{máx} = 0\cdot(-2^{7}) + (1\cdot 2^{6} + 1\cdot 2^{5} + \cdots + 1\cdot 2^{0}).á
A soma dos pesos dos 7 bits inferiores é
2^{6}+2^{5}+\cdots+2^{0}=2^{7}-1.
Como 2^{7}=128, temos
\text{máx}=2^{7}-1=128-1=127.á

Passo 6

Calcular o menor valor representável (caso negativo mínimo):
O mínimo ocorre quando b_{7}=1 e todos os outros bits são 0. Pela fórmula,
\text{mín}=-1\cdot 2^{7} + 0 = -2^{7}.í
Como 2^{7}=128, temos
\text{mín}=-128.í

Passo 7

Concluir a faixa e conferir com exemplos rápidos:
  • Faixa obtida: de -128 até 127, inclusive. Isso dá exatamente 128 valores negativos ( -128 a -1), mais 128 valores não-negativos ( 0 a 127), totalizando 256 valores, conferindo com a contagem do Passo 3.
Exemplo prático de conversão (para treinar na prova):
  • O padrão 01111111_{2} (MSB 0) é o máximo positivo: 127.
  • O padrão 10000000_{2} (MSB 1, outros zeros) é o mínimo: -128.
  • Para converter um padrão negativo como 11111011_{2} em decimal (passo a passo):
    1. Inverte os bits: 00000100_{2}.
    2. Soma 1: 00000101_{2}.
    3. Interpreta como 5 e aplica o sinal negativo: -5. Logo 11111011_{2} = -5.

Passo 8

Regra geral útil para a prova:
  • Para n bits em complemento de dois:
    • Número de valores: 2^{n}.
    • Faixa: -2^{\,n-1} até 2^{\,n-1}-1.
  • Para n=8 isso dá exatamente os resultados calculados acima.

Resposta

256
-128 a 127

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