Supondo números binários com sinal:
Com 8 bits
- Quantos valores diferentes podem ser representados?
- Que faixa de valores pode ser representada?
Com 8 bits
Passo 1
O enunciado diz: trabalhar com números binários com sinal usando
bits. Pergunta-se:
- Quantos valores diferentes podem ser representados?
- Qual a faixa de valores que pode ser representada?
Informações explícitas do enunciado:
- Número de bits disponíveis:
. - Os números são com sinal (ou seja, parte dos padrões binários representam números negativos).
Passo 2
Escolha do método (por que usar este método): o jeito mais comum e mais usado em exercícios e em computadores para representar inteiros com sinal é a representação em complemento de dois (two’s complement). Vou usar essa representação porque:
- É a representação padrão em arquitetura de computadores.
- Não cria dois zeros (não existe
distinto de ). - Permite somas e subtrações com a mesma lógica de números sem sinal, o que simplifica cálculos na prova.
Se em algum exercício o enunciado explicitamente pedir outro esquema (por exemplo, sinal-magnitude ou complemento de um), aí seria diferente — aqui o enunciado não pediu outro esquema, então usamos complemento de dois.
Passo 3
Quantos valores diferentes podem ser representados (contagem geral):
Cada um dos bits pode assumir
valores (
ou
). Portanto o total de padrões diferentes é
Cada um dos
Calcule isso:
Observação importante: esse número de padrões
não depende do esquema de sinal — com
bits há sempre
padrões possíveis; o que muda é a que valor inteiro cada padrão corresponde.
Passo 4
Definição prática do complemento de dois (como interpretar um padrão de
bits):
Denotando os bits por com
sendo o bit mais significativo (MSB, sinal), o valor inteiro representado em complemento de dois é
Denotando os bits por
Aqui:
-
é o bit na posição (posição é o bit menos significativo). - Se
o número é não negativo e sua interpretação reduz-se à soma usual dos pesos binários. - Se
o termo introduz o deslocamento negativo que produz os números negativos.
Passo 5
Calcular o maior valor representável (caso positivo máximo):
O máximo ocorre quando e todos os outros bits valem
. Então
O máximo ocorre quando
A soma dos pesos dos
bits inferiores é
Como
, temos
Passo 6
Calcular o menor valor representável (caso negativo mínimo):
O mínimo ocorre quando e todos os outros bits são
. Pela fórmula,
O mínimo ocorre quando
Como
, temos
Passo 7
Concluir a faixa e conferir com exemplos rápidos:
- Faixa obtida: de
até , inclusive. Isso dá exatamente valores negativos ( a ), mais valores não-negativos ( a ), totalizando valores, conferindo com a contagem do Passo 3.
Exemplo prático de conversão (para treinar na prova):
- O padrão
(MSB ) é o máximo positivo: . - O padrão
(MSB , outros zeros) é o mínimo: . - Para converter um padrão negativo como
em decimal (passo a passo): - Inverte os bits:
. - Soma
: . - Interpreta como
e aplica o sinal negativo: . Logo .
- Inverte os bits:
Passo 8
Regra geral útil para a prova:
- Para
bits em complemento de dois: - Número de valores:
. - Faixa:
até .
- Número de valores:
- Para
isso dá exatamente os resultados calculados acima.