Usando o polinômio de Taylor, calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas explicitamente:
é o numerador,
é o denominador, e a variável que tende a
é
.
A tarefa é achar o valor numérico desse limite.
A tarefa é achar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Vou usar o polinômio de Taylor (Maclaurin, que é o Taylor centrado em
). Primeiro uma mini-aula sobre o que é isso e as notações que vou usar.
Definição prática: para uma função
suficientemente suave em torno de
, o polinômio de Taylor de ordem
centrado em
(Maclaurin) aproxima
por
onde:
-
é a -ésima derivada de avaliada em , -
é o fatorial de , -
é o resto (erro) da aproximação quando truncamos na ordem .
Forma de Lagrange para o resto: existe algum
entre
e
tal que
Aqui cada símbolo significa:
depende de
e fica entre
e
;
é o fatorial;
é a derivada de ordem
avaliada em
.
Isso permite expandir
numa potência de
mantendo controle do erro.
Passo 3
Aplicando isso à função
. Observação importante: todas as derivadas de
são
, então em
temos
Portanto a série de Maclaurin (expansão em potências) de
é
Pela forma de Lagrange do resto, existe
entre
e
tal que
Passo 4
Como no denominador temos
, é suficiente trabalhar com o polinômio de Taylor até ordem
(porque termos de ordem maior ao dividir por
vão desaparecer quando
). Escolhemos
. Assim:
com
para algum
entre
e
.
Passo 5
Substituo essa expansão no numerador da expressão do limite:
Então a fração do limite fica
Passo 6
Agora trato o termo com o resto. Usando
temos
Lembre que
está entre
e
; quando
segue que
também. Como a função
é contínua,
. Portanto
Assim, ao passar ao limite em ambos os lados da igualdade do Passo 5, obtemos
Passo 7
Resumo intuitivo rápido: expandimos
até o termo em
. O numerador fica dominado por
mais termos de ordem superior que se anulam depois de dividir por
quando
. Logo o limite é o coeficiente de
, que é
.