Usando o polinômio de Taylor, calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}.
Informações dadas explicitamente:
\,e^{x}-1-x é o numerador, \,x^{2} é o denominador, e a variável que tende a 0 é x.
A tarefa é achar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vou usar o polinômio de Taylor (Maclaurin, que é o Taylor centrado em 0). Primeiro uma mini-aula sobre o que é isso e as notações que vou usar.
Definição prática: para uma função f suficientemente suave em torno de 0, o polinômio de Taylor de ordem n centrado em 0 (Maclaurin) aproxima f por
f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}+R_{n}(x),
onde:
  • f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0,
  • k! é o fatorial de k,
  • R_{n}(x) é o resto (erro) da aproximação quando truncamos na ordem n.
Forma de Lagrange para o resto: existe algum \xi entre 0 e x tal que
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}.
Aqui cada símbolo significa: \xi depende de x e fica entre 0 e x; (n+1)! é o fatorial; f^{(n+1)}(\xi) é a derivada de ordem n+1 avaliada em \xi.
Isso permite expandir f(x) numa potência de x mantendo controle do erro.

Passo 3

Aplicando isso à função f(x)=e^{x}. Observação importante: todas as derivadas de e^{x} são e^{x}, então em 0 temos
f^{(k)}(0)=e^{0}=1\quad\text{para todo }k\ge 0.
Portanto a série de Maclaurin (expansão em potências) de e^{x} é
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+R_{n}(x).
Pela forma de Lagrange do resto, existe \xi entre 0 e x tal que
R_{n}(x)=\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1}.

Passo 4

Como no denominador temos x^{2}, é suficiente trabalhar com o polinômio de Taylor até ordem 2 (porque termos de ordem maior ao dividir por x^{2} vão desaparecer quando x\to 0). Escolhemos n=2. Assim:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+R_{2}(x),
com
R_{2}(x)=\frac{e^{\xi}}{3!}x^{3}=\frac{e^{\xi}}{6}x^{3},
para algum \xi entre 0 e x.

Passo 5

Substituo essa expansão no numerador da expressão do limite:
e^{x}-1-x=\frac{x^{2}}{2}+R_{2}(x).
Então a fração do limite fica
\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\frac{\frac{x^{2}}{2}+R_{2}(x)}{x^{2}}=\frac{1}{2}+\frac{R_{2}(x)}{x^{2}}.

Passo 6

Agora trato o termo com o resto. Usando R_{2}(x)=\dfrac{e^{\xi}}{6}x^{3} temos
\frac{R_{2}(x)}{x^{2}}=\frac{e^{\xi}}{6}x.
Lembre que \xi está entre 0 e x; quando x\to 0 segue que \xi\to 0 também. Como a função e^{t} é contínua, e^{\xi}\to e^{0}=1. Portanto
\frac{e^{\xi}}{6}x \longrightarrow 0\quad\text{quando }x\to 0.
Assim, ao passar ao limite em ambos os lados da igualdade do Passo 5, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}.

Passo 7

Resumo intuitivo rápido: expandimos e^{x} até o termo em x^{2}. O numerador fica dominado por \tfrac{x^{2}}{2} mais termos de ordem superior que se anulam depois de dividir por x^{2} quando x\to 0. Logo o limite é o coeficiente de x^{2}, que é \tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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