Usando o potencial de uma carga pontual, recupere uma expressão para o seu campo elétrico. Faça o mesmo para o problema do anel (item f do da questão 1).

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo duas coisas:
  1. A gente já conhece o potencial elétrico de uma carga pontual, que é V(r)=14pivarepsilon0,qr,
    Agora tem que “recuperar” o campo E dela.
    2) Pra um anel carregado (item f), o potencial no eixo z é
    V(z)=14pivarepsilon0,Qraizz^2+R^2, A missão é extrair o campo E também.
Conteúdo: eletrostática, relação , E=-nabla V, e derivadas simples. Vamos usar o fato de que, por simetria, dá pra reduzir o gradiente a derivadas em r (para a carga pontual) ou em z (para o anel).

Passo 2

Derivando o campo da carga pontual
  1. Lembrando que E=-nabla V. Como V só depende de r=| r|, em coordenadas esféricas isso vira nabla V = hat r,dVdr,
    2) Calcule dV/dr:
    $$\frac{dV}{dr}= \frac{d}{dr}\Bigl(\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}\Bigr)
    = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},q;\frac{d}{dr}\bigl(r^{-1}\bigr)= -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{q}{r^2},. dVdr = ddrl(tfrac14pivarepsilon0qrr) = 14pivarepsilon0,q;ddrl(r^-1r) = -14pivarepsilon0,qr^2, ã\mathbf E®= -\hat r,\frac{dV}{dr}
    = -\hat r\Bigl(-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\Bigr)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{q}{r^2},\hat r,. $$

Passo 3

Derivando o campo no eixo de um anel
  1. A gente sabe que V(z)=14pivarepsilon0Qraizz^2+R^2 só varia com z. Então nabla V = hat z,dVdz,
    2) Calcule dV/dz:
    $$\frac{dV}{dz}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q;\frac{d}{dz}\bigl(z2+R2\bigr)^{-1/2}
    = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(z2+R2)^{-3/2}(2z)= -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q,z}{(z2+R2)^{3/2}},. dVdz = 14pivarepsilon0Q;ddzl(z^2+R^2r)^-1/2 = 14pivarepsilon0Ql(-tfrac12r)(z^2+R^2)^-3/2(2z) = -14pivarepsilon0,Q,z(z^2+R^2)^3/2, \mathbf E(z)= -\hat z,\frac{dV}{dz}
    = -\hat z\Bigl(-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q,z}{(z2+R2)^{3/2}}\Bigr)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q,z}{(z2+R2)^{3/2}},\hat z,. $$

Resposta

Campo da carga pontual:
boxed E(r)=14pivarepsilon0,qr^2,hat r,
Campo no eixo de um anel de raio R e carga total Q:
$$\boxed{\mathbf E(z)
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q,z}{(z2+R2)^{3/2}},\hat z,.}$$

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