Usando o potencial de uma carga pontual, recupere uma expressão para o seu campo elétrico. Faça o mesmo para o problema do anel (item f do da questão 1).
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo duas coisas:
- A gente já conhece o potencial elétrico de uma carga pontual, que é
Agora tem que “recuperar” o campodela.
2) Pra um anel carregado (item f), o potencial no eixoé
A missão é extrair o campo também.
Conteúdo: eletrostática, relação
e derivadas simples. Vamos usar o fato de que, por simetria, dá pra reduzir o gradiente a derivadas em
(para a carga pontual) ou em
(para o anel).
Passo 2
Derivando o campo da carga pontual
- Lembrando que
. Como só depende de , em coordenadas esféricas isso vira
2) Calcule:
$$\frac{dV}{dr}= \frac{d}{dr}\Bigl(\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}\Bigr)
= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},q;\frac{d}{dr}\bigl(r^{-1}\bigr)= -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{q}{r^2},.\mathbf E®= -\hat r,\frac{dV}{dr}
= -\hat r\Bigl(-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\Bigr)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{q}{r^2},\hat r,. $$
Passo 3
Derivando o campo no eixo de um anel
- A gente sabe que
só varia com . Então
2) Calcule:
$$\frac{dV}{dz}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q;\frac{d}{dz}\bigl(z2+R2\bigr)^{-1/2}
= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(z2+R2)^{-3/2}(2z)= -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q,z}{(z2+R2)^{3/2}},.\mathbf E(z)= -\hat z,\frac{dV}{dz}
= -\hat z\Bigl(-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q,z}{(z2+R2)^{3/2}}\Bigr)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q,z}{(z2+R2)^{3/2}},\hat z,. $$
Resposta
Campo da carga pontual:
Campo no eixo de um anel de raio
e carga total
:
$$\boxed{\mathbf E(z)
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{Q,z}{(z2+R2)^{3/2}},\hat z,.}$$