O intervalo de integração é x\in\left[0,\tfrac{\pi}{3}\right].
A integranda é \operatorname{sen} x\cos^{2}x.
Valores trigonométricos que vamos usar: \cos 0 = 1 e \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.
Passo 2
Escolha da mudança de variável (explicação didática): quando na integranda aparece um produto do tipo \sin x vezes uma função de \cos x (aqui \cos^{2}x), uma escolha natural é definir uma nova variável igual a \cos x. O motivo é que a derivada de \cos x é -\sin x, então dá para transformar \sin x\,dx em termos de du.
Formalizando a escolha:
u=\cos x.
Derivando ambos os lados em relação a x,
du = -\sin x\,dx.
Isolando \sin x\,dx,
\sin x\,dx = -du.
Este é o passo central da técnica de mudança de variável: trocar \sin x\,dx por -du e \cos x por u. Além disso, para integrar definida é preciso também transformar os limites de integração (isso evita voltar a x depois).
Passo 3
Transformando a integranda e os limites:
Substituindo \cos x = u e \sin x\,dx = -du na integranda \sin x\cos^{2}x\,dx obtemos
Portanto o valor numérico da integral é \dfrac{7}{24}.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a ideia (mais prático do que teoria chata): calcule \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x\,dx. Fazendo a mesma mudança u=\cos x, du=-\sin x\,dx, os limites vão de u=1 a u=0 e a integral vira \int_{1}^{0}-u\,du=\int_{0}^{1}u\,du=[u^{2}/2]_{0}^{1}=1/2. Resultado \tfrac{1}{2}. Viu como a técnica é repetível e prática? Força aí — essa mudança de variável aparece muito em prova e é um dos melhores truques no bolso.