Usando o processo de mudança de variáveis, calcule as integrais abaixo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} x \cos ^{2} x d x;

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos: calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} x\cos^{2}x\,dx.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O intervalo de integração é x\in\left[0,\tfrac{\pi}{3}\right].
  • A integranda é \operatorname{sen} x\cos^{2}x.
  • Valores trigonométricos que vamos usar: \cos 0 = 1 e \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Escolha da mudança de variável (explicação didática): quando na integranda aparece um produto do tipo \sin x vezes uma função de \cos x (aqui \cos^{2}x), uma escolha natural é definir uma nova variável igual a \cos x. O motivo é que a derivada de \cos x é -\sin x, então dá para transformar \sin x\,dx em termos de du.
Formalizando a escolha:
u=\cos x.
Derivando ambos os lados em relação a x,
du = -\sin x\,dx.
Isolando \sin x\,dx,
\sin x\,dx = -du.
Este é o passo central da técnica de mudança de variável: trocar \sin x\,dx por -du e \cos x por u. Além disso, para integrar definida é preciso também transformar os limites de integração (isso evita voltar a x depois).

Passo 3

Transformando a integranda e os limites:
  • Substituindo \cos x = u e \sin x\,dx = -du na integranda \sin x\cos^{2}x\,dx obtemos
\sin x\cos^{2}x\,dx = (\cos^{2}x)(\sin x\,dx) = u^{2}(-du) = -u^{2}\,du.
  • Agora os limites: quando x=0 temos u=\cos 0 = 1; quando x=\tfrac{\pi}{3} temos u=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.
Portanto a integral em x vira a integral em u:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x\cos^{2}x\,dx = \int_{u=1}^{u=\tfrac{1}{2}} -u^{2}\,du.

Passo 4

Simplificar a integral em u: tirar o sinal trocando os limites faz ficar mais direto. Usando \int_{a}^{b}-f(u)\,du = \int_{b}^{a}f(u)\,du,
\int_{1}^{\tfrac{1}{2}} -u^{2}\,du = \int_{\tfrac{1}{2}}^{1} u^{2}\,du.
Agora aplicamos a regra básica de integração de potências: a primitiva de u^{2} é \dfrac{u^{3}}{3}. Ou seja,
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 5

Avaliação da integral definida:
\int_{\tfrac{1}{2}}^{1} u^{2}\,du = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{u=\tfrac{1}{2}}^{u=1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8} = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{1}{8}\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{7}{8} = \frac{7}{24}.
Portanto o valor numérico da integral é \dfrac{7}{24}.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a ideia (mais prático do que teoria chata): calcule \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos x\,dx. Fazendo a mesma mudança u=\cos x, du=-\sin x\,dx, os limites vão de u=1 a u=0 e a integral vira \int_{1}^{0}-u\,du=\int_{0}^{1}u\,du=[u^{2}/2]_{0}^{1}=1/2. Resultado \tfrac{1}{2}. Viu como a técnica é repetível e prática? Força aí — essa mudança de variável aparece muito em prova e é um dos melhores truques no bolso.

Resposta

\dfrac{7}{24}

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