Usando o produto escalar, encontre o co-seno do ângulo entre a diagonal principal de um cubo e uma das arestas do cubo.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar o cosseno do ângulo entre a diagonal principal de um cubo e uma de suas arestas.
Informações dadas (implícitas pelo enunciado): o sólido é um cubo, ou seja, todas as arestas têm o mesmo comprimento. Não foi dado um comprimento específico, então podemos chamar o comprimento da aresta de \(a) (uma constante positiva). A diagonal principal é a reta que liga dois vértices opostos do cubo.

Passo 2

Vamos representar geometricamente as duas direções com vetores no espaço tridimensional (isso facilita usar o produto escalar). Escolho um sistema de coordenadas conveniente: coloque um vértice do cubo na origem \(0,0,0) e as arestas saindo dessa origem ao longo dos eixos coordenados. Assim, se \(a) é o comprimento da aresta, os pontos relevantes são:
(0,0,0),\qquad (a,0,0),\qquad (a,a,a).
Então:
  • um vetor que representa a aresta ao longo do eixo x é \(v = (a,0,0));
  • um vetor que representa a diagonal principal (do vértice na origem ao vértice oposto) é \(u = (a,a,a)).
Aqui \(u) e \(v) são vetores colados na origem que apontam nas direções que queremos comparar. Explicando as variáveis: \(a) é o comprimento da aresta; cada componente de \(u) é \(a) porque a diagonal aumenta igualmente nas três direções; \(v) tem componente \(a) só no eixo x.

Passo 3

Vamos usar a fórmula que relaciona produto escalar e cosseno do ângulo entre vetores. Para dois vetores \(u) e \(v),
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
O que isso significa:
  • \(u\cdot v) é o produto escalar (ou produto interno) entre \(u) e \(v). Para vetores em \mathbb{R}^3, se \(u=(u_1,u_2,u_3)) e \(v=(v_1,v_2,v_3)), então \(u\cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3).
  • \(\|u\|) é a norma (comprimento) do vetor \(u), calculada por \(\|u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}).
  • \(\theta) é o ângulo entre os vetores.
Essa fórmula vem da definição geométrica do produto escalar e é muito prática para calcular cossenos sem precisar calcular o ângulo explicitamente.

Passo 4

Calcule o produto escalar \(u\cdot v) usando os vetores escolhidos \(u=(a,a,a)) e \(v=(a,0,0)):
u\cdot v = a\cdot a + a\cdot 0 + a\cdot 0 = a^2.
Expliquei cada termo: multiply componente a componente e some.

Passo 5

Calcule as normas dos vetores:
  • Norma de \(v):
\|v\| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{a^2} = a,
pois \(a>0).
  • Norma de \(u):
\|u\| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}.
Expliquei: some os quadrados das componentes e tire a raiz.

Passo 6

Substitua os resultados na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})\,(a)} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Podemos também racionalizar o denominador, se preferir:
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 7

Interpretação final e dica prática para a prova: o resultado não depende do tamanho da aresta \(a); por isso, ao resolver esse tipo de problema na prova, é perfeitamente válido assumir \(a=1) desde o início para simplificar as contas (então os vetores ficam u=(1,1,1) e v=(1,0,0), o produto escalar é 1 e a norma de u é \sqrt{3}, chegando ao mesmo \frac{1}{\sqrt{3}}). Se quiser o ângulo em graus, é \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 54{,}74^\circ.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}

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