Usando o produto escalar, encontre o co-seno do ângulo entre a diagonal principal de um cubo e uma das arestas do cubo.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar o cosseno do ângulo entre a diagonal principal de um cubo e uma de suas arestas.
Informações dadas (implícitas pelo enunciado): o sólido é um cubo, ou seja, todas as arestas têm o mesmo comprimento. Não foi dado um comprimento específico, então podemos chamar o comprimento da aresta de ) (uma constante positiva). A diagonal principal é a reta que liga dois vértices opostos do cubo.
Informações dadas (implícitas pelo enunciado): o sólido é um cubo, ou seja, todas as arestas têm o mesmo comprimento. Não foi dado um comprimento específico, então podemos chamar o comprimento da aresta de ) (uma constante positiva). A diagonal principal é a reta que liga dois vértices opostos do cubo.
Passo 2
Vamos representar geometricamente as duas direções com vetores no espaço tridimensional (isso facilita usar o produto escalar). Escolho um sistema de coordenadas conveniente: coloque um vértice do cubo na origem
) e as arestas saindo dessa origem ao longo dos eixos coordenados. Assim, se
) é o comprimento da aresta, os pontos relevantes são:
Então:
- um vetor que representa a aresta ao longo do eixo
é ); - um vetor que representa a diagonal principal (do vértice na origem ao vértice oposto) é ).
Aqui
) e
) são vetores colados na origem que apontam nas direções que queremos comparar. Explicando as variáveis:
) é o comprimento da aresta; cada componente de
) é
) porque a diagonal aumenta igualmente nas três direções;
) tem componente
) só no eixo
.
Passo 3
Vamos usar a fórmula que relaciona produto escalar e cosseno do ângulo entre vetores. Para dois vetores
) e
),
O que isso significa:
-
) é o produto escalar (ou produto interno) entre
) e
). Para vetores em
, se ) e ), então ). - ) é a norma (comprimento) do vetor ), calculada por ).
- ) é o ângulo entre os vetores.
Essa fórmula vem da definição geométrica do produto escalar e é muito prática para calcular cossenos sem precisar calcular o ângulo explicitamente.
Passo 4
Calcule o produto escalar
) usando os vetores escolhidos
) e
):
Expliquei cada termo: multiply componente a componente e some.
Passo 5
Calcule as normas dos vetores:
- Norma de ):
pois
).
- Norma de ):
Expliquei: some os quadrados das componentes e tire a raiz.
Passo 6
Substitua os resultados na fórmula do cosseno:
Podemos também racionalizar o denominador, se preferir:
Passo 7
Interpretação final e dica prática para a prova: o resultado não depende do tamanho da aresta
); por isso, ao resolver esse tipo de problema na prova, é perfeitamente válido assumir
) desde o início para simplificar as contas (então os vetores ficam
e
, o produto escalar é
e a norma de
é
, chegando ao mesmo
). Se quiser o ângulo em graus, é
.