Balmer descobriu a Equação 8.1 em 1885 de forma empírica. Em 1913, o físico dinamarquês Niels Bohr deduziu a fórmula de Balmer a partir de um modelo físico, que lhe rendeu o Prêmio Nobel de 1922. Proceda conforme os passos a seguir e deduza a fórmula de Balmer. Sugestão: pesquise em um livro de física moderna, como o Tipler (cap. 4), Eisberg (cap. 4), Caruso (cap. 12), ou o Nussenzveig (cap. 7).
a) [1 pt] Considere que um átomo de hidrogênio consiste de um sistema de duas partículas: o próton e o elétron, distantes
entre si e com cargas
, respectivamente. O elétron tem massa quase duas mil vezes menor que o próton. Portanto, todo o momentum do átomo pode ser atribuído ao próton. Isso significa que, no sistema próton - elétron, o próton pode ser considerado como o referencial do sistema atômico para o átomo de hidrogênio (assim como o Sol, para o sistema solar). Dessa forma, a força coulombiana é a força centrípeta. A partir dessas informações, mostre que a energia mecânica do elétron é
,
onde
é a constante eletrostática da lei de Coulomb.
b) [1 pt] Sabe-se, do eletromagnetismo clássico, que uma carga acelerada, como um elétron em movimento circular, irradia e, portanto, perde energia continuamente. Bohr postulou que, na configuração atômica, o elétron não irradia se ocupar órbitas específicas, denominadas órbitas estacionárias. Neste caso, ele criou uma regra de seleção, segundo a qual o momento angular
do elétron deve ser
,
onde
e
é a constante de Planck reduzida. Sabendo que o momento angular de uma partícula de massa
em movimento circular de raio
é
,
mostre que o raio da n-ésima órbita estacionária do elétron no átomo de hidrogênio é
,
onde
À é denominado raio de Bohr, dado por
.
c) [1 pt] Combine os resultados dos itens 3a e 3b e mostre que a energia da n-ésima órbita estacionária do elétron é
,
onde
é a energia de ionização do elétron, dada por
.
d) [1 pt] A energia do fóton de comprimento de onda
é
onde
é a velocidade da luz. Bohr postulou que o fóton resulta da transição do elétron entre uma órbita estacionária
e
. A energia do fóton é a diferença de energia do elétron nas órbitas transitadas. Mostre que esse argumento leva à equação de Balmer para transição do elétron entre a órbita estacionária
.
a) [1 pt] Considere que um átomo de hidrogênio consiste de um sistema de duas partículas: o próton e o elétron, distantes
onde
b) [1 pt] Sabe-se, do eletromagnetismo clássico, que uma carga acelerada, como um elétron em movimento circular, irradia e, portanto, perde energia continuamente. Bohr postulou que, na configuração atômica, o elétron não irradia se ocupar órbitas específicas, denominadas órbitas estacionárias. Neste caso, ele criou uma regra de seleção, segundo a qual o momento angular
onde
mostre que o raio da n-ésima órbita estacionária do elétron no átomo de hidrogênio é
onde
c) [1 pt] Combine os resultados dos itens 3a e 3b e mostre que a energia da n-ésima órbita estacionária do elétron é
onde
d) [1 pt] A energia do fóton de comprimento de onda
Passo 1
O enunciado pede que a gente deduza a fórmula de Balmer seguindo quatro itens. Vou listar claramente o que cada item quer e os dados fornecidos:
-
(a) Mostrar que, para o elétron em órbita circular ao redor do próton, a energia mecânica é
. Dados: cargas (próton) e (elétron), separação , constante eletrostática . Assume-se o próton fixo (referencial do átomo). -
(b) Usando a condição de quantização do momento angular
com e , e sabendo a expressão correta do momento angular de uma partícula em movimento circular (veremos isso), mostrar que o raio da -ésima órbita é , onde (raio de Bohr). Aqui é a massa do elétron. -
(c) Combinar (a) e (b) para obter
com . -
(d) Usando
e que o fóton tem energia igual à diferença de níveis para uma transição entre órbitas (inicial) e (final), deduzir a equação de Balmer para as transições que terminam em e, em particular, para a transição com . Dados: .
Não vou começar a resolver ainda — só identifiquei o que é pedido e as informações relevantes. Agora sim, partimos para a dedução passo a passo.
Passo 2
Força centrípeta e força de Coulomb — montar a equação de equilíbrio.
- A força elétrica de atração entre próton e elétron (lei de Coulomb) tem módulo
- Para o elétron em movimento circular de raio
com velocidade , a força necessária para mantê‑lo na órbita (força centrípeta) tem módulo
onde
é a massa do elétron. (Explicação curta: a aceleração centrípeta vale
, e pela segunda lei
.)
- No átomo de hidrogênio, essa força elétrica fornece a força centrípeta, logo igualamos:
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Esse resultado relaciona a velocidade do elétron com o raio da órbita.
Passo 3
Energia cinética, energia potencial e resultado do item (a).
- A energia cinética do elétron é
- Substituindo
encontrado no passo anterior:
- A energia potencial elétrica (potencial de duas cargas de sinais opostos) é
(Explicação: o potencial de duas cargas
e
separadas por
é
; o sinal negativo indica ligação.)
- A energia mecânica total é
. Logo,
Concluímos exatamente o pedido no item (a):
Passo 4
Quantização do momento angular e derivação do raio de Bohr — item (b).
- O momento angular de uma partícula em movimento circular é, corretamente,
(Observação didática: o momento angular em módulo é massa × velocidade tangencial × raio. O texto do enunciado parece ter omitido a velocidade; aqui usamos a expressão correta.)
- Bohr postula quantização:
ou seja
- Da igualdade
do passo 2 podemos isolar como . Substituímos na equação do momento angular: primeiro escrevemos ; elevando ao quadrado,
- Igualando as duas expressões para
:
- Multiplicando ambos os lados por
e simplificando:
- Isolando
:
- Definimos o raio de Bohr
como o raio para , ou seja
- Portanto o raio da
-ésima órbita é
Esse é exatamente o resultado pedido no item (b).
Passo 5
Energia dos níveis — combinar (a) e (b) para obter
(item c).
- Do passo 3 temos
. Substituímos :
- Substituindo
(definição do passo 4):
- Definindo a constante
obtemos
- Num valor numérico (usualmente empregado),
(energia de ionização do elétron no estado fundamental). Em joules,
Isso responde o item (c).
Passo 6
Energia do fóton e equação de Balmer — item (d), dedução geral.
- Quando o elétron faz uma transição de um nível
(inicial) para um nível mais profundo (final), a energia do fóton emitido é a diferença de energias:
- A energia do fóton também é dada por
onde
. Igualando:
- Isolando
obtemos a forma clássica (Rydberg form):
- Para a série de Balmer a transição termina em
. Substituindo dá a fórmula de Balmer:
- Se quisermos escrever a constante de Rydberg
na forma usual, definimos
e então
Isso é a equação de Balmer.
Passo 7
Aplicação para a transição com
(da órbita 4 para a 2): cálculo da
numérica.
- Para
e ,
- Portanto
- Usando
e , temos
- Em unidades mais usuais,
que é a linha H
da série de Balmer (visível, na região azul).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) (fórmula de Balmer, para
); para
,
(b)
(c)
(d)