Usando a Proposição e sabendo que para cada número real
vale
calcule e justifique os limites abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas/úteis (retiradas do enunciado):
- Para todo
vale e . - O que se pede é o limite quando
tende a da expressão entre parênteses elevada à quinta potência.
Passo 2
Relembrando e justificando as regras de limite que vou usar (a “Proposição”):
- Regra da soma: se
e então . - Regra do produto: se
e então . - Regra do quociente: se
, e , então . - Regra da potência (continuidade das funções polinomiais e de potência): se
então .
Essas regras resultam de aplicar repetidamente as informaçõese combinadas pelas regras algébricas dos limites. Exemplo simples: .
Passo 3
Calcular limite do numerador e do denominador da primeira fração separadamente, usando as regras acima.
Primeiro, para
:
logo, pela regra da soma e produto,
Para o denominador,
Como o limite do denominador é
, podemos aplicar a regra do quociente:
Passo 4
Calcular o limite da segunda parcela
. Usando que
e a regra do quociente (ou continuidade da função inversa em pontos não nulos),
Agora aplicando a regra da soma (somar os limites das parcelas):
Passo 5
Finalmente, uso a regra da potência: como o limite da expressão dentro dos parênteses existe e é
, então o limite da expressão elevada à quinta é o quinto poder desse limite. Logo