Usando a Proposição e sabendo que para cada número real x_{0} vale
\lim _{x \rightarrow x_{0}} x=x_{0} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} 1=1,
calcule e justifique os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x^{3}+2 x^{2}-1}{5-3 x}+\frac{1}{x}\right)^{5};

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{3}+2x^{2}-1}{5-3x}+\frac{1}{x}\right)^{5}.
Informações dadas/úteis (retiradas do enunciado):
  • Para todo x_{0} vale \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} x = x_{0} e \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} 1 = 1.
  • O que se pede é o limite quando x tende a 2 da expressão entre parênteses elevada à quinta potência.

Passo 2

Relembrando e justificando as regras de limite que vou usar (a “Proposição”):
  • Regra da soma: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M então \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = L+M.
  • Regra do produto: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M então \lim_{x\to a} f(x)g(x) = LM.
  • Regra do quociente: se \lim_{x\to a} f(x)=L, \lim_{x\to a} g(x)=M e M\neq 0, então \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}.
  • Regra da potência (continuidade das funções polinomiais e de potência): se \lim_{x\to a} h(x)=H então \lim_{x\to a} (h(x))^{5} = H^{5}.
    Essas regras resultam de aplicar repetidamente as informações \lim x = x_{0} e \lim 1 = 1 combinadas pelas regras algébricas dos limites. Exemplo simples: \lim_{x\to 2} x^{2} = (\lim_{x\to 2} x)^{2} = 2^{2} = 4.

Passo 3

Calcular limite do numerador e do denominador da primeira fração separadamente, usando as regras acima.
Primeiro, para x\to 2:
\lim_{x\to 2} x^{3} = (\lim_{x\to 2} x)^{3} = 2^{3} = 8,
\lim_{x\to 2} x^{2} = 2^{2} = 4,
logo, pela regra da soma e produto,
\lim_{x\to 2} (x^{3}+2x^{2}-1) = 8 + 2\cdot 4 - 1 = 8 + 8 - 1 = 15.
Para o denominador,
\lim_{x\to 2} (5-3x) = 5 - 3\cdot(\lim_{x\to 2} x) = 5 - 3\cdot 2 = 5 - 6 = -1.
Como o limite do denominador é -1\neq 0, podemos aplicar a regra do quociente:
\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}+2x^{2}-1}{5-3x} = \frac{15}{-1} = -15.

Passo 4

Calcular o limite da segunda parcela \dfrac{1}{x}. Usando que \lim_{x\to 2} x = 2 e a regra do quociente (ou continuidade da função inversa em pontos não nulos),
\lim_{x\to 2} \frac{1}{x} = \frac{1}{\lim_{x\to 2} x} = \frac{1}{2}.
Agora aplicando a regra da soma (somar os limites das parcelas):
\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{3}+2x^{2}-1}{5-3x} + \frac{1}{x}\right) = -15 + \frac{1}{2} = -\frac{30}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{29}{2}.

Passo 5

Finalmente, uso a regra da potência: como o limite da expressão dentro dos parênteses existe e é -\dfrac{29}{2}, então o limite da expressão elevada à quinta é o quinto poder desse limite. Logo
\lim_{x\to 2}\left(\frac{x^{3}+2x^{2}-1}{5-3x} + \frac{1}{x}\right)^{5} = \left(-\frac{29}{2}\right)^{5}.

Resposta

-\dfrac{20511149}{32}

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