Usando a Proposição e sabendo que para cada número real
vale
calcule e justifique os limites abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede que se calcule e justifique
Informações fornecidas (pegadas do enunciado):
- Para todo número real
vale . Em particular, com temos . - Para todo número real
vale . (Isso nos diz que o limite de uma função constante é a própria constante.)
Passo 2
Explicar a propriedade de limites que vamos usar (a “Proposição” do enunciado): se
e
têm limites finitos quando
, então valem as regras algébricas básicas:
e, em particular, para qualquer constante
,
Aqui:
e
são funções de
;
é o ponto de aproximação (no nosso caso
); e
é um número real fixo. Essas propriedades dizem que podemos “levar o limite para dentro” das somas, produtos e multiplicações por constantes — muito útil na prova.
Passo 3
Primeiro, obtenha o limite da constante
. Como
e sabemos que
, pela propriedade de multiplicação por constante:
(Se preferir, isso também se aceita diretamente: o limite de uma função constante é a própria constante.)
Passo 4
Agora aplique a regra do produto (ou a regra do multiplicador constante) ao produto
. Usando que
e
, temos
Alternativamente, diretamente pela regra de multiplicação por constante:
Passo 5
Intuição rápida (para encorajar): se
fica cada vez mais perto de
, então
fica cada vez mais perto de
. Por exemplo,
,
; os valores se aproximam de
.