Usando a Proposição e sabendo que para cada número real x_{0} vale
\lim _{x \rightarrow x_{0}} x=x_{0} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} 1=1,
calcule e justifique os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 5} 2 x;

Passo 1

O enunciado pede que se calcule e justifique
\lim_{x\to 5} 2x.
Informações fornecidas (pegadas do enunciado):
  • Para todo número real x_{0} vale \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} x = x_{0}. Em particular, com x_{0}=5 temos \displaystyle \lim_{x\to5} x = 5.
  • Para todo número real x_{0} vale \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} 1 = 1. (Isso nos diz que o limite de uma função constante é a própria constante.)

Passo 2

Explicar a propriedade de limites que vamos usar (a “Proposição” do enunciado): se f e g têm limites finitos quando x\to a, então valem as regras algébricas básicas:
\lim_{x\to a} (f+g) = \lim_{x\to a} f + \lim_{x\to a} g, \qquad \lim_{x\to a} (f\cdot g) = \left(\lim_{x\to a} f\right)\left(\lim_{x\to a} g\right),
e, em particular, para qualquer constante c,
\lim_{x\to a} (c\cdot f) = c\cdot \lim_{x\to a} f.
Aqui: f e g são funções de x; a é o ponto de aproximação (no nosso caso a=5); e c é um número real fixo. Essas propriedades dizem que podemos “levar o limite para dentro” das somas, produtos e multiplicações por constantes — muito útil na prova.

Passo 3

Primeiro, obtenha o limite da constante 2. Como 2 = 2\cdot 1 e sabemos que \displaystyle \lim_{x\to5}1=1, pela propriedade de multiplicação por constante:
\lim_{x\to5} 2 = \lim_{x\to5} (2\cdot 1) = 2\cdot \lim_{x\to5} 1 = 2\cdot 1 = 2.
(Se preferir, isso também se aceita diretamente: o limite de uma função constante é a própria constante.)

Passo 4

Agora aplique a regra do produto (ou a regra do multiplicador constante) ao produto 2x. Usando que \displaystyle \lim_{x\to5}2=2 e \displaystyle \lim_{x\to5}x=5, temos
\lim_{x\to5} 2x = \left(\lim_{x\to5}2\right)\left(\lim_{x\to5}x\right) = 2\cdot 5 = 10.
Alternativamente, diretamente pela regra de multiplicação por constante:
\lim_{x\to5} 2x = 2\cdot \lim_{x\to5} x = 2\cdot 5 = 10.

Passo 5

Intuição rápida (para encorajar): se x fica cada vez mais perto de 5, então 2x fica cada vez mais perto de 10. Por exemplo, x=4{,}9\Rightarrow 2x=9{,}8, x=5{,}1\Rightarrow 2x=10{,}2; os valores se aproximam de 10.

Resposta

10

Exercícios relacionados