Usando a Proposição e sabendo que para cada número real
vale
calcule e justifique os limites abaixo:
;
Passo 1
O enunciado dá duas informações que valem para qualquer
:
A pergunta do exercício é: calcular e justificar o valor do limite
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Sabemos o valor do limite de
quando (ele é ). - Sabemos o valor do limite da constante
(ele é ). - O que se pede é o limite de uma expressão polinomial em
quando .
Passo 2
Vamos usar propriedades básicas de limites (regras algébricas). Vou enunciar as regras de forma clara e simples, explicando o que cada símbolo significa.
Regra 1 (soma): se
e
existem, então
Aqui
e
são funções quaisquer;
é o ponto para o qual
tende.
Regra 2 (produto por constante): para qualquer constante
,
Regra 3 (produto): se
e
existem, então
Estas regras são plausíveis porque limite mede comportamento próximo de
e operações algébricas simples preservam esse comportamento. Usaremos essas regras partindo das duas informações dadas no enunciado.
Passo 3
Calcular
.
Escrevemos
. Aplicando a Regra 3 (produto) com
e
e usando a informação
, obtemos
Portanto
.
Passo 4
Calcular
(o limite da constante
).
A constante
pode ser vista como
. Usando a Regra 2 (produto por constante) e a informação
, temos
Passo 5
Agora aplicamos as regras ao polinômio
.
Primeiro, separamos em termos somados e multiplicados por constantes. Usando a Regra 1 (soma) e a Regra 2 (constante multiplicativa),
Substituímos os limites já calculados/ conhecidos:
Portanto
Passo 6
Efetuando as contas finais passo a passo:
então