Usando a Proposição e sabendo que para cada número real x_{0} vale
\lim _{x \rightarrow x_{0}} x=x_{0} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} 1=1,
calcule e justifique os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 5}\left(2 x^{2}-3 x+4\right);

Passo 1

O enunciado dá duas informações que valem para qualquer x_{0}:
\lim_{x\to x_{0}} x = x_{0} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_{0}} 1 = 1.
A pergunta do exercício é: calcular e justificar o valor do limite
\lim_{x\to 5}\left(2x^{2}-3x+4\right).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Sabemos o valor do limite de x quando x\to x_{0} (ele é x_{0}).
  • Sabemos o valor do limite da constante 1 (ele é 1).
  • O que se pede é o limite de uma expressão polinomial em x quando x\to 5.

Passo 2

Vamos usar propriedades básicas de limites (regras algébricas). Vou enunciar as regras de forma clara e simples, explicando o que cada símbolo significa.
Regra 1 (soma): se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a} f(x)+\lim_{x\to a} g(x).
Aqui f(x) e g(x) são funções quaisquer; a é o ponto para o qual x tende.
Regra 2 (produto por constante): para qualquer constante c,
\lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a} f(x).
Regra 3 (produto): se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então
\lim_{x\to a} \big(f(x)\cdot g(x)\big)=\lim_{x\to a} f(x)\cdot\lim_{x\to a} g(x).
Estas regras são plausíveis porque limite mede comportamento próximo de a e operações algébricas simples preservam esse comportamento. Usaremos essas regras partindo das duas informações dadas no enunciado.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 5} x^{2}.
Escrevemos x^{2}=x\cdot x. Aplicando a Regra 3 (produto) com f(x)=x e g(x)=x e usando a informação \lim_{x\to 5} x = 5, obtemos
\lim_{x\to 5} x^{2} = \lim_{x\to 5} (x\cdot x) = \big(\lim_{x\to 5} x\big)\cdot\big(\lim_{x\to 5} x\big) = 5\cdot 5 = 25.
Portanto \lim_{x\to 5} x^{2}=25.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 5} 4 (o limite da constante 4).
A constante 4 pode ser vista como 4\cdot 1. Usando a Regra 2 (produto por constante) e a informação \lim_{x\to 5} 1=1, temos
\lim_{x\to 5} 4 = \lim_{x\to 5} (4\cdot 1) = 4\cdot\lim_{x\to 5} 1 = 4\cdot 1 = 4.

Passo 5

Agora aplicamos as regras ao polinômio \;2x^{2}-3x+4.
Primeiro, separamos em termos somados e multiplicados por constantes. Usando a Regra 1 (soma) e a Regra 2 (constante multiplicativa),
\lim_{x\to 5}\big(2x^{2}-3x+4\big) = 2\cdot\lim_{x\to 5} x^{2} - 3\cdot\lim_{x\to 5} x + \lim_{x\to 5} 4.
Substituímos os limites já calculados/ conhecidos:
\lim_{x\to 5} x^{2}=25, \qquad \lim_{x\to 5} x = 5, \qquad \lim_{x\to 5} 4 = 4.
Portanto
\lim_{x\to 5}\big(2x^{2}-3x+4\big)=2\cdot 25 - 3\cdot 5 + 4.

Passo 6

Efetuando as contas finais passo a passo:
2\cdot 25 = 50, \qquad 3\cdot 5 = 15,
então
50 - 15 + 4 = 35 + 4 = 39.

Resposta

39

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