Usando a Proposição e sabendo que para cada número real x_{0} vale
\lim _{x \rightarrow x_{0}} x=x_{0} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} 1=1,
calcule e justifique os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 9}\left(\pi^{2}+x\right);

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:\n
  • Pede-se calcular \displaystyle \lim_{x\to 9}\bigl(\pi^{2}+x\bigr).\n
  • Informações fornecidas que vamos usar (pegas do enunciado): para todo x_{0} vale \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} x = x_{0} e \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} 1 = 1.\n
  • Também vamos usar a Proposição básica sobre limites (a que o enunciado manda usar): se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L e \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=M então \displaystyle \lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M, e se c é constante então \displaystyle \lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a} f(x).

Passo 2

Reescrevendo a função como soma de uma constante com a identidade: \displaystyle \pi^{2}+x é a soma da função constante \displaystyle \pi^{2} com a função x. Ou seja,
\pi^{2}+x = (\text{constante } \pi^{2}) + (\text{função } x).çã

Passo 3

Mostrando que o limite da parte constante é a própria constante.\n
Uma constante c pode ser vista como c\cdot 1. Assim,
\pi^{2} = \pi^{2}\cdot 1.
Pela propriedade de multiplicação por constante dos limites (a Proposição), tem-se
\lim_{x\to 9} \pi^{2} = \pi^{2}\cdot \lim_{x\to 9} 1.
Como o enunciado nos deu \displaystyle \lim_{x\to 9} 1 = 1, segue que
\lim_{x\to 9} \pi^{2} = \pi^{2}\cdot 1 = \pi^{2}.

Passo 4

Usando o dado para a função identidade.\n
O enunciado também nos dá que \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} x = x_{0} para todo x_{0}. Tomando x_{0}=9 obtemos
\lim_{x\to 9} x = 9.

Passo 5

Aplicando a Proposição da soma de limites.\n
Como \displaystyle \lim_{x\to 9}\pi^{2} = \pi^{2} e \displaystyle \lim_{x\to 9} x = 9, pela propriedade da soma de limites temos
\lim_{x\to 9}\bigl(\pi^{2}+x\bigr)=\lim_{x\to 9}\pi^{2}+\lim_{x\to 9}x=\pi^{2}+9.

Resposta

\pi^{2}+9

Exercícios relacionados