Usando a propriedade de deslocamento, encontre as transformadas de Laplace das funções:
f(t)=e^{4 t} \operatorname{cosh} 5 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{4t}\operatorname{cosh} 5t.
Informações dadas e pedido:
  • A função a transformar é f(t)=e^{4t}\operatorname{cosh} 5t.
  • Deve ser usada a propriedade de deslocamento (multiplicação por exponencial).
  • Objetivo: obter \mathcal{L}\{f(t)\} com a expressão final e a região de convergência (se aplicável).

Passo 2

Definição e propriedade que vamos usar (explicadas de forma direta).
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função g(t) definida em t\ge0,
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de s na região de convergência apropriada.
  • Propriedade de deslocamento/exponencial (que o enunciado pediu para usar): se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a).
Explicação rápida do porquê: ao substituir na definição,
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=\int_0^\infty e^{-st} e^{a t} g(t)\,dt=\int_0^\infty e^{-(s-a)t} g(t)\,dt=G(s-a).
Aqui a é o deslocamento no eixo s: a região de convergência de G(s) é deslocada para a direita por \Re(a).

Passo 3

Vamos calcular primeiro a transformada de \operatorname{cosh} 5t (isso é útil porque f(t)=e^{4t}\cdot\operatorname{cosh} 5t).
  • Lembre que a função hiperbólica é dada por
\operatorname{cosh} 5t=\frac{e^{5t}+e^{-5t}}{2}.
  • Usando linearidade da transformada e \mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}(s)=\dfrac{1}{s-\alpha} (válido para \Re(s)>\Re(\alpha)), obtemos
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} 5t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-5}+\frac{1}{s+5}\right).
  • Simplificando a soma de frações:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-5}+\frac{1}{s+5}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+5)+(s-5)}{(s-5)(s+5)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{s^{2}-25} =\frac{s}{s^{2}-25}.
Portanto
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} 5t\}(s)=\frac{s}{s^{2}-25},
com região de convergência \Re(s)>5 (porque a exponencial e^{5t} exige isso).

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento (pois f(t)=e^{4t}\cdot\operatorname{cosh} 5t). Se G(s)=\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} 5t\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}-25}, então
\mathcal{L}\{e^{4t}\operatorname{cosh} 5t\}(s)=G(s-4)=\frac{s-4}{(s-4)^{2}-25}.
Mostrando a simplificação do denominador:
(s-4)^{2}-25 = s^{2}-8s+16-25 = s^{2}-8s-9.
Portanto podemos escrever
\mathcal{L}\{e^{4t}\operatorname{cosh} 5t\}(s)=\frac{s-4}{s^{2}-8s-9}.

Passo 5

Forma alternativa factorizada e região de convergência:
  • O denominador fatoriza como
s^{2}-8s-9=(s-9)(s+1),
logo outra forma útil é
\mathcal{L}\{e^{4t}\operatorname{cosh} 5t\}(s)=\frac{s-4}{(s-9)(s+1)}.
  • Região de convergência: como \mathcal{L}\{\operatorname{cosh} 5t\} exige \Re(s)>5, ao substituir s\mapsto s-4 requeremos \Re(s-4)>5, isto é
\Re(s)>9.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{4t}\operatorname{cosh} 5t\}(s)=\frac{s-4}{s^{2}-8s-9}=\frac{s-4}{(s-9)(s+1)},\qquad \Re(s)>9

Exercícios relacionados