Usando a propriedade de deslocamento, encontre as transformadas de Laplace das funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
Informações dadas e pedido:
- A função a transformar é
. - Deve ser usada a propriedade de deslocamento (multiplicação por exponencial).
- Objetivo: obter
com a expressão final e a região de convergência (se aplicável).
Passo 2
Definição e propriedade que vamos usar (explicadas de forma direta).
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
definida em ,
onde
é uma variável complexa e a integral converge para valores de
na região de convergência apropriada.
- Propriedade de deslocamento/exponencial (que o enunciado pediu para usar): se
, então
Explicação rápida do porquê: ao substituir na definição,
Aqui
é o deslocamento no eixo
: a região de convergência de
é deslocada para a direita por
.
Passo 3
Vamos calcular primeiro a transformada de
(isso é útil porque
).
- Lembre que a função hiperbólica é dada por
- Usando linearidade da transformada e
(válido para ), obtemos
- Simplificando a soma de frações:
Portanto
com região de convergência
(porque a exponencial
exige isso).
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade de deslocamento (pois
). Se
, então
Mostrando a simplificação do denominador:
Portanto podemos escrever
Passo 5
Forma alternativa factorizada e região de convergência:
- O denominador fatoriza como
logo outra forma útil é
- Região de convergência: como
exige , ao substituir requeremos , isto é