Usando a Transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial:
, com
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução
:
- Equação:
. - Condições iniciais:
e .
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaça a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Vou usar a Transformada de Laplace. Primeiro, lembrando definições e propriedades que vou usar (explicando cada coisa):
- Definição da Transformada de Laplace: para uma função
(definida para ),
Isso transforma uma função de
em uma função de
.
- Notação prática: denoto
. - Linearidade:
. - Transformadas de derivadas (fórmulas essenciais para resolver EDO com condições iniciais):
Essas fórmulas vêm de integrar por partes e são ótimas porque transformam derivadas em polinômios em
vezes
menos termos com as condições iniciais.
- Transformadas que precisarei:
- Propriedade útil para obter transformada de
multiplicando uma função: se , então
Vou usar essa propriedade mais adiante para identificar uma parte de
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação toda. Transformando termo a termo:
- Para
:
Como
e
, isso é
- Para
:
- Para o lado direito
:
Agora somando os lados (transformada da EDO):
Passo 4
Isolar
. Agrupando termos em
:
Passo o
para o outro lado:
Dividindo por
:
Aqui ficou em duas parcelas: uma fração simples
e outra
.
Passo 5
Agora vou inverter a transformada termo a termo para voltar a
. Inversão da primeira parcela:
Usando as transformadas conhecidas:
Logo a inversa da primeira parcela é
.
Inversão da segunda parcela
:
- Observe que
. Denotando , pela propriedade do passo 2,
Calcule a derivada:
Portanto
Isto mostra que a segunda parcela é exatamente a transformada de
. Assim sua inversa é
.
Somando as inversas das duas parcelas (cada parcela corresponde a uma parte de
) obtém-se a solução no domínio do tempo.
Passo 6
Verificação rápida das condições iniciais (só para ficar mais seguro; aqui uso a solução obtida nos passos anteriores):
- A solução obtida (antes da seção de resposta) tem termos que em
dão: -
e , e em vale . - Assim
, que confere.
-
- Derivando (rapidamente):
, , . Em isso dá , que confere com a condição inicial.