Usando a Transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y=2 \cos t, com y(0)=3, y^{\prime}(0)=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução y(t):
  • Equação: y^{\prime\prime}+y=2\cos t.
  • Condições iniciais: y(0)=3 e y^{\prime}(0)=4.
    O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Vou usar a Transformada de Laplace. Primeiro, lembrando definições e propriedades que vou usar (explicando cada coisa):
  • Definição da Transformada de Laplace: para uma função f(t) (definida para t\ge0),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Isso transforma uma função de t em uma função de s.
  • Notação prática: denoto Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformadas de derivadas (fórmulas essenciais para resolver EDO com condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm de integrar por partes e são ótimas porque transformam derivadas em polinômios em s vezes Y(s) menos termos com as condições iniciais.
  • Transformadas que precisarei:
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}, \qquad \mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
  • Propriedade útil para obter transformada de t multiplicando uma função: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}F(s).
Vou usar essa propriedade mais adiante para identificar uma parte de Y(s).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação toda. Transformando termo a termo:
  • Para y'':
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Como y(0)=3 e y'(0)=4, isso é
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-3s-4.
  • Para y:
\mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s).
  • Para o lado direito 2\cos t:
\mathcal{L}\{2\cos t\}(s)=2\cdot\frac{s}{s^{2}+1}=\frac{2s}{s^{2}+1}.
Agora somando os lados (transformada da EDO):
\big(s^{2}Y(s)-3s-4\big)+Y(s)=\frac{2s}{s^{2}+1}.

Passo 4

Isolar Y(s). Agrupando termos em Y(s):
(s^{2}+1)Y(s)-3s-4=\frac{2s}{s^{2}+1}.
Passo o -3s-4 para o outro lado:
(s^{2}+1)Y(s)=3s+4+\frac{2s}{s^{2}+1}.
Dividindo por s^{2}+1:
Y(s)=\frac{3s+4}{s^{2}+1}+\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Aqui ficou em duas parcelas: uma fração simples \dfrac{3s+4}{s^{2}+1} e outra \dfrac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Agora vou inverter a transformada termo a termo para voltar a y(t). Inversão da primeira parcela:
\frac{3s+4}{s^{2}+1}=3\cdot\frac{s}{s^{2}+1}+4\cdot\frac{1}{s^{2}+1}.
Usando as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
Logo a inversa da primeira parcela é 3\cos t+4\sin t.
Inversão da segunda parcela \dfrac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}:
  • Observe que \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}. Denotando F(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}, pela propriedade do passo 2,
\mathcal{L}\{t\sin t\}(s)=-\frac{d}{ds}F(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right).
Calcule a derivada:
-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+1}\right)=-\left(-\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}\right)=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t\sin t\}(s)=\frac{2s}{(s^{2}+1)^{2}}.
Isto mostra que a segunda parcela é exatamente a transformada de t\sin t. Assim sua inversa é t\sin t.
Somando as inversas das duas parcelas (cada parcela corresponde a uma parte de y(t)) obtém-se a solução no domínio do tempo.

Passo 6

Verificação rápida das condições iniciais (só para ficar mais seguro; aqui uso a solução obtida nos passos anteriores):
  • A solução obtida (antes da seção de resposta) tem termos que em t=0 dão:
    • \cos 0=1 e \sin 0=0, e t\sin t em t=0 vale 0.
    • Assim y(0)=3\cdot1+4\cdot0+0=3, que confere.
  • Derivando (rapidamente): \dfrac{d}{dt}(3\cos t)= -3\sin t, \dfrac{d}{dt}(4\sin t)=4\cos t, \dfrac{d}{dt}(t\sin t)=\sin t + t\cos t. Em t=0 isso dá y'(0)=0+4+0=4, que confere com a condição inicial.

Resposta

y(t)=3\cos t+4\sin t+t\sin t

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