Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
u=t e^{w t}

Passo 1

O enunciado dá a função u em função de duas variáveis t e w:
u(t,w)=t\,e^{w t}.
O que é pedido: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de u, isto é:
  • \dfrac{\partial u}{\partial t} (derivada parcial em relação a t, com w fixo);
  • \dfrac{\partial u}{\partial w} (derivada parcial em relação a w, com t fixo).

Passo 2

Lembrete rápido do que é derivada parcial: \dfrac{\partial u}{\partial t} mede como u varia quando t muda e w fica fixo; formalmente
\frac{\partial u}{\partial t}=\lim_{h\to0}\frac{u(t+h,w)-u(t,w)}{h}.
O mesmo raciocínio vale trocando t por w. Na prática, usamos regras de derivação (produto, cadeia) considerando a outra variável como constante.

Passo 3

Regra do produto para derivadas parciais: se u=f(t,w)\,g(t,w), então
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial t}, \qquad \frac{\partial u}{\partial w}=\frac{\partial f}{\partial w}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial w}.
Vamos aplicar isso com f e g adequados.

Passo 4

Identificação das funções do produto:
f(t,w)=t,\qquad g(t,w)=e^{w t}.
Agora calculemos as derivadas parciais de f necessárias:
\frac{\partial f}{\partial t}=1,\qquad \frac{\partial f}{\partial w}=0,
pois t derivado em relação a t é 1 e t é constante quando derivamos em relação a w.

Passo 5

Derivada parcial de g em relação a t: usar regra da cadeia. A função é g(t,w)=e^{w t}. A derivada de e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada de \text{algo}. Como \text{algo}=w t e w é tratado como constante ao derivar em t, temos
\frac{\partial g}{\partial t}=w\,e^{w t}.

Passo 6

Derivada parcial de g em relação a w: agora t é tratado como constante. A derivada de w t em relação a w é t. Então
\frac{\partial g}{\partial w}=t\,e^{w t}.

Passo 7

Agora calcule \dfrac{\partial u}{\partial t} usando a regra do produto:
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial t} =1\cdot e^{w t}+t\cdot (w e^{w t}).
Fatorando e^{w t},
\frac{\partial u}{\partial t}=e^{w t}+w t e^{w t}=e^{w t}\bigl(1+w t\bigr).

Passo 8

Agora calcule \dfrac{\partial u}{\partial w} usando a regra do produto:
\frac{\partial u}{\partial w}=\frac{\partial f}{\partial w}\,g+f\,\frac{\partial g}{\partial w} =0\cdot e^{w t}+t\cdot (t e^{w t}).
Portanto
\frac{\partial u}{\partial w}=t^{2}e^{w t}.

Passo 9

Interpretação rápida (dica para prova): \dfrac{\partial u}{\partial t} tem dois termos porque t aparece multiplicando e^{w t} e também dentro do expoente; \dfrac{\partial u}{\partial w} só surge pelo expoente, por isso resulta em t^{2}e^{w t}. Se precisar usar valores numéricos, basta substituir t e w nas fórmulas finais.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=e^{w t}\bigl(1+w t\bigr)
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial w}=t^{2}e^{w t}

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