Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado dá a função
em função de duas variáveis
e
:
O que é pedido: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
, isto é:
-
(derivada parcial em relação a , com fixo); -
(derivada parcial em relação a , com fixo).
Passo 2
Lembrete rápido do que é derivada parcial:
mede como
varia quando
muda e
fica fixo; formalmente
O mesmo raciocínio vale trocando
por
. Na prática, usamos regras de derivação (produto, cadeia) considerando a outra variável como constante.
Passo 3
Regra do produto para derivadas parciais: se
, então
Vamos aplicar isso com
e
adequados.
Passo 4
Identificação das funções do produto:
Agora calculemos as derivadas parciais de
necessárias:
pois
derivado em relação a
é
e
é constante quando derivamos em relação a
.
Passo 5
Derivada parcial de
em relação a
: usar regra da cadeia. A função é
. A derivada de
é
vezes a derivada de
. Como
e
é tratado como constante ao derivar em
, temos
Passo 6
Derivada parcial de
em relação a
: agora
é tratado como constante. A derivada de
em relação a
é
. Então
Passo 7
Agora calcule
usando a regra do produto:
Fatorando
,
Passo 8
Agora calcule
usando a regra do produto:
Portanto
Passo 9
Interpretação rápida (dica para prova):
tem dois termos porque
aparece multiplicando
e também dentro do expoente;
só surge pelo expoente, por isso resulta em
. Se precisar usar valores numéricos, basta substituir
e
nas fórmulas finais.