Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Ou seja:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes que temos:
- A função é composta:
é a exponencial de . - Nas derivadas parciais, a outra variável é tratada como constante (ao derivar em relação a
segurar constante; ao derivar em relação a segurar constante).
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): se
, a derivada parcial segue a regra da cadeia:
Isto vem do fato de que a derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação à variável desejada. Nas parciais, a derivada de
é feita tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para
.
Primeiro identificamos . Derivando
em relação a
(com
constante):
Primeiro identificamos
Agora usamos a fórmula da cadeia:
Comentário prático: ao derivar
em relação a
, trate
como multiplicador constante, por isso sai
vezes
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
.
Derivando em relação a
(com
constante):
Derivando
Usando a fórmula da cadeia:
Dica: aqui
age como constante multiplicativa quando derivamos em relação a
.
Passo 5
Pequeno exemplo numérico para fixar (só para ilustrar): em
,
Isto mostra como usar as fórmulas rapidamente na prova — calcular a expressão simbólica e depois substituir o ponto.