Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
z=e^{x^{2} y}

Passo 1

O enunciado dá a função z=e^{x^{2}y} e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Ou seja:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes que temos:
  • A função é composta: z é a exponencial de u(x,y)=x^{2}y.
  • Nas derivadas parciais, a outra variável é tratada como constante (ao derivar em relação a x segurar y constante; ao derivar em relação a y segurar x constante).

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): se z=e^{u(x,y)}, a derivada parcial segue a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Isto vem do fato de que a derivada de \,e^{u}\, em relação a u é e^{u}, e depois multiplicamos pela derivada de u em relação à variável desejada. Nas parciais, a derivada de u é feita tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Primeiro identificamos u(x,y)=x^{2}y. Derivando u em relação a x (com y constante):
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=y\cdot 2x=2xy.
Agora usamos a fórmula da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{x^{2}y}\cdot(2xy)=2xy\,e^{x^{2}y}.
Comentário prático: ao derivar x^{2}y em relação a x, trate y como multiplicador constante, por isso sai 2x vezes y.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Derivando u(x,y)=x^{2}y em relação a y (com x constante):
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr)=x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y)=x^{2}\cdot 1=x^{2}.
Usando a fórmula da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{x^{2}y}\cdot x^{2}=x^{2}\,e^{x^{2}y}.
Dica: aqui x^{2} age como constante multiplicativa quando derivamos em relação a y.

Passo 5

Pequeno exemplo numérico para fixar (só para ilustrar): em (x,y)=(1,2),
\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,2)}=2\cdot1\cdot2\,e^{1^{2}\cdot2}=4e^{2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,2)}=1^{2}e^{2}=e^{2}.
Isto mostra como usar as fórmulas rapidamente na prova — calcular a expressão simbólica e depois substituir o ponto.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2xy\,e^{x^{2}y}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}\,e^{x^{2}y}

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