Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
z=x^{2} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função z em termos de x e y:
z = x^{2} \ln\left(1 + x^{2} + y^{2}\right)
As perguntas são: calcular as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações úteis que temos no enunciado: a expressão explícita de z em termos de x e y. Não há valores numéricos específicos a usar — devemos obter expressões gerais.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (com explicação didática, como você pediu):
  • Definição prática de derivada parcial: para \dfrac{\partial z}{\partial x} trata-se de derivar z(x,y) em relação a x mantendo y fixo; e para \dfrac{\partial z}{\partial y} deriva-se em relação a y mantendo x fixo. Em provas isso significa “diferenciar como se a outra variável fosse uma constante”.
  • Regra do produto (para funções de duas variáveis): se z(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então
\frac{\partial}{\partial x}\big(u v\big)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Aqui vou aplicar essa regra com u(x,y)=x^{2} e v(x,y)=\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big).
  • Regra da cadeia (para logaritmo): se v(x,y)=\ln\big(w(x,y)\big) então
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{w(x,y)}\frac{\partial w}{\partial x}.
No nosso caso w(x,y)=1+x^{2}+y^{2}, então \dfrac{\partial w}{\partial x}=2x e \dfrac{\partial w}{\partial y}=2y.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} passo a passo.
Identifico u(x,y)=x^{2} e v(x,y)=\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big). Primeiro obtenho as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Usando regra da cadeia para v:
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(1+x^{2}+y^{2}\big)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}.
Agora aplico a regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}=2x\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big)+x^{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Simplifico a expressão de \dfrac{\partial z}{\partial x}. A segunda parcela pode ser escrita como \dfrac{2x^{3}}{1+x^{2}+y^{2}}. Assim:
\frac{\partial z}{\partial x}=2x\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big)+\frac{2x^{3}}{1+x^{2}+y^{2}}.
Posso fatorar 2x se quiser uma forma mais compacta:
\frac{\partial z}{\partial x}=2x\left[\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big)+\frac{x^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}\right].

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y} passo a passo.
Aqui x é tratado como constante. A função é z=x^{2}\cdot\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big). Como x^{2} é constante em relação a y, temos
\frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left[\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big)\right].
Aplicando a regra da cadeia com w=1+x^{2}+y^{2} e \dfrac{\partial w}{\partial y}=2y:
\frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{2x^{2}y}{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Pequena verificação numérica para ganhar confiança (opcional, mas útil na prova): em (x,y)=(1,0) tem-se z=\ln 2. As derivadas calculadas ficam
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,0)}=2\cdot 1\cdot\ln 2+\frac{2\cdot 1^{3}}{1+1^{2}+0^{2}}=2\ln 2+1,
\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,0)}=\frac{2\cdot 1^{2}\cdot 0}{1+1^{2}+0^{2}}=0.
Faz sentido: ao mover só em y naquele ponto, z inicialmente não muda porque o fator y é zero na derivada.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=2x\ln\big(1+x^{2}+y^{2}\big)+\frac{2x^{3}}{1+x^{2}+y^{2}}
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2x^{2}y}{1+x^{2}+y^{2}}

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