Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem: z=x^{2} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)
Passo 1
O enunciado dá a função z em termos de x e y:
z = x^{2} \ln\left(1 + x^{2} + y^{2}\right)
As perguntas são: calcular as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações úteis que temos no enunciado: a expressão explícita de z em termos de x e y. Não há valores numéricos específicos a usar — devemos obter expressões gerais.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (com explicação didática, como você pediu):
Definição prática de derivada parcial: para \dfrac{\partial z}{\partial x} trata-se de derivar z(x,y) em relação a x mantendo y fixo; e para \dfrac{\partial z}{\partial y} deriva-se em relação a y mantendo x fixo. Em provas isso significa “diferenciar como se a outra variável fosse uma constante”.
Regra do produto (para funções de duas variáveis): se z(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então