Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x, y)=\left(4 x y-3 y^{3}\right)^{3}+5 x^{2} y

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{3}+5x^{2}y.
Informações dadas:
  • A função f está explícita em termos de x e y.
  • Deve-se encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que significa derivada parcial (explicação didática): a derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando x varia e y fica fixo. Analogamente, a derivada parcial em relação a y é a taxa de variação quando y varia e x fica fixo.
Regra prática: ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} trata-se y como constante; ao calcular \dfrac{\partial}{\partial y} trata-se x como constante.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática):
  • Regra da potência: se g(t)=t^{n}, então g'(t)=n t^{n-1}.
  • Regra da cadeia: se F(x)=G(H(x)), então F'(x)=G'(H(x))\cdot H'(x). Para parciais, aplica-se mantendo a variável que fica fixa como constante.
  • Regra do produto (quando aparece produto de funções): \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\cdot v + u\cdot v'. Para parciais, funciona do mesmo modo com a variável de diferenciação.
Vamos aplicar isso à nossa função. Para simplificar a escrita, é útil definir uma função intermediária.

Passo 4

Defina
u(x,y)=4xy-3y^{3},
assim
f(x,y)=u(x,y)^{3}+5x^{2}y.
Primeiro calculemos as derivadas parciais de u, pois serão usadas na regra da cadeia.
Calcule \dfrac{\partial u}{\partial x} tratando y como constante:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)=4y-0=4y.
Calcule \dfrac{\partial u}{\partial y} tratando x como constante:
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)=4x-9y^{2}.
Explicação: o termo 4xy 4x quando derivado em relação a y (pois x é constante) e o termo -3y^{3} -9y^{2} pela regra da potência.

Passo 5

Agora calcule \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Aplicando a regra da cadeia ao termo u^{3}:
  • Derivada de u^{3} em relação a x é 3u^{2}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
Derivada do termo 5x^{2}y em relação a x (com y constante) é 10xy pela regra da potência e produto (ou vendo 5y\cdot x^{2} como constante 5y vezes x^{2}).
Portanto:
\frac{\partial f}{\partial x}=3u^{2}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+10xy.
Substituindo u e \dfrac{\partial u}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=3\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}\cdot(4y)+10xy.
Simplificando o fator:
\frac{\partial f}{\partial x}=12y\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}+10xy.
Se quiser agrupar em fator comum y:
\frac{\partial f}{\partial x}=y\Bigl(12\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}+10x\Bigr).

Passo 6

Agora calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Aplicando a regra da cadeia ao termo u^{3}:
  • Derivada de u^{3} em relação a y é 3u^{2}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}.
Derivada do termo 5x^{2}y em relação a y (com x constante) é 5x^{2}.
Portanto:
\frac{\partial f}{\partial y}=3u^{2}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+5x^{2}.
Substituindo u e \dfrac{\partial u}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=3\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}\cdot(4x-9y^{2})+5x^{2}.
Essa é a forma final; se desejar, pode deixar distribuída ou fatorada, mas esta já é clara e compacta.

Passo 7

Checagem numérica rápida (para ganhar confiança): escolha (x,y)=(1,1).
  • Primeiro calcule u(1,1)=4\cdot1\cdot1-3\cdot1^{3}=4-3=1.
  • Então \dfrac{\partial f}{\partial x}\big|_{(1,1)}=12\cdot1\cdot(1)^{2}+10\cdot1\cdot1=12+10=22.
  • E \dfrac{\partial f}{\partial y}\big|_{(1,1)}=3\cdot(1)^{2}\cdot(4\cdot1-9\cdot1^{2})+5\cdot1^{2}=3\cdot(4-9)+5=3\cdot(-5)+5=-15+5=-10.
    Isso mostra que as fórmulas dão valores numéricos consistentes com substituição direta.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=12y\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}+10xy
\dfrac{\partial f}{\partial y}=3\bigl(4xy-3y^{3}\bigr)^{2}\bigl(4x-9y^{2}\bigr)+5x^{2}

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