Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas:
- A função
está explícita em termos de e . - Deve-se encontrar
e .
Passo 2
O que significa derivada parcial (explicação didática): a derivada parcial de
em relação a
é a taxa de variação de
quando
varia e
fica fixo. Analogamente, a derivada parcial em relação a
é a taxa de variação quando
varia e
fica fixo.
Regra prática: ao calcular
trata-se
como constante; ao calcular
trata-se
como constante.
Passo 3
Regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática):
- Regra da potência: se
, então . - Regra da cadeia: se
, então . Para parciais, aplica-se mantendo a variável que fica fixa como constante. - Regra do produto (quando aparece produto de funções):
. Para parciais, funciona do mesmo modo com a variável de diferenciação.
Vamos aplicar isso à nossa função. Para simplificar a escrita, é útil definir uma função intermediária.
Passo 4
Defina
assim
Primeiro calculemos as derivadas parciais de
, pois serão usadas na regra da cadeia.
Calcule
tratando
como constante:
Calcule
tratando
como constante:
Explicação: o termo
dá
quando derivado em relação a
(pois
é constante) e o termo
dá
pela regra da potência.
Passo 5
Agora calcule
.
Aplicando a regra da cadeia ao termo
:
- Derivada de
em relação a é .
Derivada do termo
em relação a
(com
constante) é
pela regra da potência e produto (ou vendo
como constante
vezes
).
Portanto:
Substituindo
e
:
Simplificando o fator:
Se quiser agrupar em fator comum
:
Passo 6
Agora calcule
.
Aplicando a regra da cadeia ao termo
:
- Derivada de
em relação a é .
Derivada do termo
em relação a
(com
constante) é
.
Portanto:
Substituindo
e
:
Essa é a forma final; se desejar, pode deixar distribuída ou fatorada, mas esta já é clara e compacta.
Passo 7
Checagem numérica rápida (para ganhar confiança): escolha
.
- Primeiro calcule
. - Então
. - E
.
Isso mostra que as fórmulas dão valores numéricos consistentes com substituição direta.