Questão 3. Um objeto de massa \frac{1}{10} \mathrm{~kg} é jogado verticalmente para cima com velocidade 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A força de resistência que o ar faz ao movimento é \frac{1}{40} vezes a velocidade. Escreva um PVI que modela o problema de encontrar a velocidade do objeto como função do tempo, v(t). Encontre a solução geral da equação diferencial e a solução do PVI. A velocidade do objeto se anulará no instante (use g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )?
a t=\ln \left(\frac{4}{5}\right) \mathrm{s}.
b t=\ln \left(\frac{6}{5}\right) \mathrm{s}.
c t=4 \ln \left(\frac{19}{20}\right) \mathrm{s}.
d t=\ln \left(\frac{19}{20}\right) \mathrm{s}.
e t=\ln \left(\frac{21}{20}\right) \mathrm{s}.
  • t=4 \ln \left(\frac{21}{20}\right) \mathrm{s}.
    g t=4 \ln \left(\frac{4}{5}\right) \mathrm{s}.
    h a velocidade nunca se anula.
    i t=4 \ln \left(\frac{6}{5}\right) \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa do objeto: m=\dfrac{1}{10}\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade inicial (para cima): v(0)=2\\ \mathrm{m/s}.
    • A força de resistência do ar tem magnitude igual a \dfrac{1}{40} vezes a velocidade. (Isto é, a constante de proporcionalidade é k=\dfrac{1}{40}, e a força de resistência tem sentido oposto ao da velocidade.)
    • A aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Escrever um PVI (problema de valor inicial) que modele a velocidade v(t).
    2. Encontrar a solução geral da equação diferencial.
    3. Encontrar a solução do PVI (usar v(0)=2).
    4. Determinar se e quando a velocidade se anula; entre as alternativas dadas, indicar a correta.

Passo 2

Modelagem física e montagem do PVI (escolha de sinais e forças).
  • Convenção de sinais: tomo a direção para cima como positiva. Assim, se v>0 o objeto sobe e forças para baixo são negativas.
  • Forças na massa (sentido para cima positivo):
    • Peso: -mg.
    • Resistência do ar: proporcional à velocidade e apontando contra o movimento. Para v>0 a resistência é para baixo, então é -k v com k=\dfrac{1}{40}.
  • Aplicando a segunda lei de Newton m\,\dfrac{dv}{dt}= soma das forças: m\frac{dv}{dt} = -mg - k v.
  • Substituindo m=\dfrac{1}{10} e k=\dfrac{1}{40}, o PVI fica: \begin{cases} \dfrac{1}{10}\dfrac{dv}{dt} = -\dfrac{1}{10}g - \dfrac{1}{40}v,\\[6pt] v(0)=2. \end{cases}]

Passo 3

Simplificar a equação diferencial para uma forma padrão.
Multiplico a equação por 10 para eliminar o denominador:
\frac{dv}{dt} = -g - \frac{10}{40}v = -g - \frac{1}{4}v.
Reescrevendo em forma linear padrão:
\frac{dv}{dt} + \frac{1}{4}v = -g.
Esse é um PVI linear de primeira ordem com condição v(0)=2.

Passo 4

Resolver a equação diferencial linear (achar a solução geral).
  • Equação homogênea associada: \frac{dv}{dt} + \frac{1}{4}v = 0.Solução da homogênea (separo ou reconheço exponencial): v_h(t) = C e^{-t/4},onde C é constante arbitrária.
  • Procurar uma solução particular constante v_p. Se v_p é constante, então \dfrac{dv_p}{dt}=0 e: \frac{1}{4}v_p = -g \quad\Rightarrow\quad v_p = -4g.
  • Assim a solução geral é soma da homogênea com a particular: v(t) = C e^{-t/4} - 4g.

Passo 5

Aplicar a condição inicial para obter a solução do PVI (usar g=10).
  • Substituo g=10 na solução geral: v(t) = C e^{-t/4} - 4\cdot 10 = C e^{-t/4} - 40.
  • Impor v(0)=2: v(0)=C - 40 = 2 \quad\Rightarrow\quad C=42.
  • Portanto a solução do PVI é v(t) = 42\,e^{-t/4} - 40.

Passo 6

Determinar se e quando v(t)=0.
  • Resolver 42\,e^{-t/4} - 40 = 0. 42\,e^{-t/4} = 40 \quad\Rightarrow\quad e^{-t/4} = \frac{40}{42} = \frac{20}{21}.
  • Tomando logaritmo natural: -\frac{t}{4} = \ln\!\left(\frac{20}{21}\right) \quad\Rightarrow\quad t = -4\ln\!\left(\frac{20}{21}\right).
  • Usando a propriedade -\ln\!\left(\dfrac{20}{21}\right)=\ln\!\left(\dfrac{21}{20}\right), obtemos t = 4\ln\!\left(\frac{21}{20}\right)\\ \text{s}.
  • O valor é positivo (já que \dfrac{21}{20}>1), logo a velocidade se anula em tempo finito dado acima.

Resposta

PVI: \displaystyle \begin{cases}\dfrac{1}{10}\dfrac{dv}{dt} = -\dfrac{1}{10}g - \dfrac{1}{40}v,\\[4pt] v(0)=2.\end{cases}
Solução geral: \displaystyle v(t)=C\,e^{-t/4}-4g.
Solução do PVI (com g=10): \displaystyle v(t)=42\,e^{-t/4}-40.
Instante em que v(t)=0: \displaystyle t=4\ln\!\left(\frac{21}{20}\right)\\ \text{s} (corresponde à alternativa t=4\ln\!\left(\dfrac{21}{20}\right)\\ \mathrm{s}).]

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