Questão 3. Um objeto de massa \frac{1}{10} \mathrm{~kg} é jogado verticalmente para cima com velocidade 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A força de resistência que o ar faz ao movimento é \frac{1}{40} vezes a velocidade. Escreva um PVI que modela o problema de encontrar a velocidade do objeto como função do tempo, v(t). Encontre a solução geral da equação diferencial e a solução do PVI. A velocidade do objeto se anulará no instante (use g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )?
a t=\ln \left(\frac{4}{5}\right) \mathrm{s}.
b t=\ln \left(\frac{6}{5}\right) \mathrm{s}.
c t=4 \ln \left(\frac{19}{20}\right) \mathrm{s}.
d t=\ln \left(\frac{19}{20}\right) \mathrm{s}.
e t=\ln \left(\frac{21}{20}\right) \mathrm{s}.
t=4 \ln \left(\frac{21}{20}\right) \mathrm{s}.
g t=4 \ln \left(\frac{4}{5}\right) \mathrm{s}.
h a velocidade nunca se anula.
i t=4 \ln \left(\frac{6}{5}\right) \mathrm{s}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Massa do objeto: m=\dfrac{1}{10}\\ \mathrm{kg}.
Velocidade inicial (para cima): v(0)=2\\ \mathrm{m/s}.
A força de resistência do ar tem magnitude igual a \dfrac{1}{40} vezes a velocidade. (Isto é, a constante de proporcionalidade é k=\dfrac{1}{40}, e a força de resistência tem sentido oposto ao da velocidade.)
A aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
O que o enunciado pede:
Escrever um PVI (problema de valor inicial) que modele a velocidade v(t).
Encontrar a solução geral da equação diferencial.
Encontrar a solução do PVI (usar v(0)=2).
Determinar se e quando a velocidade se anula; entre as alternativas dadas, indicar a correta.
Passo 2
Modelagem física e montagem do PVI (escolha de sinais e forças).
Convenção de sinais: tomo a direção para cima como positiva. Assim, se v>0 o objeto sobe e forças para baixo são negativas.
Forças na massa (sentido para cima positivo):
Peso: -mg.
Resistência do ar: proporcional à velocidade e apontando contra o movimento. Para v>0 a resistência é para baixo, então é -k v com k=\dfrac{1}{40}.
Aplicando a segunda lei de Newton m\,\dfrac{dv}{dt}= soma das forças:m\frac{dv}{dt} = -mg - k v.
Substituindo m=\dfrac{1}{10} e k=\dfrac{1}{40}, o PVI fica:\begin{cases} \dfrac{1}{10}\dfrac{dv}{dt} = -\dfrac{1}{10}g - \dfrac{1}{40}v,\\[6pt] v(0)=2. \end{cases}]
Passo 3
Simplificar a equação diferencial para uma forma padrão.
Multiplico a equação por 10 para eliminar o denominador:
Esse é um PVI linear de primeira ordem com condição v(0)=2.
Passo 4
Resolver a equação diferencial linear (achar a solução geral).
Equação homogênea associada:\frac{dv}{dt} + \frac{1}{4}v = 0.Solução da homogênea (separo ou reconheço exponencial):v_h(t) = C e^{-t/4},onde C é constante arbitrária.
Procurar uma solução particular constante v_p. Se v_p é constante, então \dfrac{dv_p}{dt}=0 e:\frac{1}{4}v_p = -g \quad\Rightarrow\quad v_p = -4g.
Assim a solução geral é soma da homogênea com a particular:v(t) = C e^{-t/4} - 4g.
Passo 5
Aplicar a condição inicial para obter a solução do PVI (usar g=10).
Substituo g=10 na solução geral:v(t) = C e^{-t/4} - 4\cdot 10 = C e^{-t/4} - 40.