Encontre a solução geral da equação diferencial. A partir da solução geral determine a solução do problema de valor inicial. Faça um esboço da solução do PVI. Marque a única alternativa que representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial.
determinar a solução do PVI (usar a condição inicial);
fazer um esboço da solução do PVI;
marcar a alternativa que representa o intervalo de validade da solução do PVI.
Informações importantes dadas:
A função no RHS é razão de dois polinômios homogêneos de grau 2 (numerador e denominador têm grau 2).
A condição inicial é o ponto \big(0,-\tfrac{\sqrt[3]{12}}{2}\big).
A equação torna-se singular quando o denominador é zero, ou seja, nas retas -4x-2y=0 (ou y=-2x) e -x+y=0 (ou y=x). Essas retas são importantes para o intervalo de validade.]
Passo 2
Reconhecimento do tipo de equação e substituição útil (passo preparatório).
Como numerador e denominador são homogêneos do mesmo grau, a função depende apenas de y/x. Então fazemos a substituição padrão para equações homogêneas:
y = v x \quad\text{com}\quad v=v(x).
Derivando y=vx obtemos
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Vamos escrever o RHS em função de v. Pegando os factores do denominador e substituindo y=vx (observe que usei y=vx para transformar cada termo; isso é permitido mesmo com x=0 depois, pois obteremos a solução implícita que inclui o caso x=0):
Análise do intervalo de validade e identificação da alternativa correta.
A equação original é indefinida quando o denominador é zero, ou seja nas retas
y = x \quad\text{e}\quad y = -2x.
A solução não pode ser estendida além dos pontos onde a curva solução intersecta essas retas, porque aí a derivada se torna infinita/indefinida (singularidade).
Para encontrar as abscissas dessas intersecções substituímos essas retas na solução do PVI:
Interseção com y=x: substituindo y=x em 2y^3 + 3x y^2 -12 x^2 y + 16 x^3 = -3 dá
9x^3 = -3 \quad\Longrightarrow\quad x^3 = -\tfrac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{\sqrt[3]{9}}{3}.
Observe a relação algébrica entre as formas: -\dfrac{1}{\sqrt[3]{12}} = -\dfrac{\sqrt[3]{18}}{6} (é a mesma quantidade escrita de forma diferente).
Valores numéricos aproximados:
-\dfrac{\sqrt[3]{9}}{3}\approx -0,693\ldots
-\dfrac{\sqrt[3]{18}}{6}\approx -0,436\ldots
A interseção mais próxima do ponto inicial x=0 é x=-\dfrac{\sqrt[3]{18}}{6}. Portanto, partindo de x=0, a solução pode ser estendida para a direita até +\infty sem encontrar singularidade, e para a esquerda apenas até o primeiro encontro com uma reta singular, que ocorre em x=-\dfrac{\sqrt[3]{18}}{6}.
Logo o intervalo maximal de validade que contém 0 é
\Bigl(-\frac{\sqrt[3]{18}}{6},\; +\infty\Bigr),
que corresponde à alternativa (a).
Passo 7
Esboço qualitativo da solução do PVI (instrução para desenhar).
Desenhar os eixos x (horizontal) e y (vertical).
Traçar as retas singulares y=x (inclinação 45^\circ) e y=-2x (inclinação negativa mais acentuada).
Marcar o ponto inicial \big(0,-\tfrac{\sqrt[3]{12}}{2}\big) em x=0, y\approx-1{,}1447.
Desenhar a curva implícita definida por 2y^3+3xy^2-12x^2y+16x^3=-3 passando por esse ponto; ao ir para a esquerda a curva encontra primeiro a reta y=-2x em x=-\tfrac{\sqrt[3]{18}}{6} (ponto de singularidade), e para a direita segue sem cruzar as retas (pois as interseções reais com as retas acontecem à esquerda de x=0), estendendo-se para x\to+\infty. Colocar uma seta indicando continuação para a direita até +\infty.