Questão 2. Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=\frac{16 x^{2}-8 x y+y^{2}}{(-4 x-2 y)(-x+y)} \\\ y(0)=-\frac{\sqrt[3]{12}}{2} \end{array}\right.
Encontre a solução geral da equação diferencial. A partir da solução geral determine a solução do problema de valor inicial. Faça um esboço da solução do PVI. Marque a única alternativa que representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial.
\begin{array}{ll} \hline \mathrm{a}\left(-\frac{\sqrt[3]{18}}{6},+\infty\right) . & \mathrm{d}(-\infty,+\infty) . \\\ \mathrm{b}\left(-\frac{\sqrt[3]{9}}{3}, \frac{\sqrt[3]{9}}{3}\right) . & \mathrm{e}\left(-\frac{\sqrt[3]{18}}{6}, \frac{\sqrt[3]{18}}{6}\right) . \\\ & \mathrm{f}\left(-\frac{\sqrt[3]{9}}{3},+\infty\right) . \\\ \hline \end{array}

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{16 x^{2}-8 x y+y^{2}}{(-4 x-2 y)(-x+y)},\\[6pt] y(0)=-\dfrac{\sqrt[3]{12}}{2}, \end{array}\right.
e pede:
  • encontrar a solução geral da equação diferencial;
  • determinar a solução do PVI (usar a condição inicial);
  • fazer um esboço da solução do PVI;
  • marcar a alternativa que representa o intervalo de validade da solução do PVI.
Informações importantes dadas:
  • A função no RHS é razão de dois polinômios homogêneos de grau 2 (numerador e denominador têm grau 2).
  • A condição inicial é o ponto \big(0,-\tfrac{\sqrt[3]{12}}{2}\big).
  • A equação torna-se singular quando o denominador é zero, ou seja, nas retas -4x-2y=0 (ou y=-2x) e -x+y=0 (ou y=x). Essas retas são importantes para o intervalo de validade.]

Passo 2

Reconhecimento do tipo de equação e substituição útil (passo preparatório).
  • Como numerador e denominador são homogêneos do mesmo grau, a função depende apenas de y/x. Então fazemos a substituição padrão para equações homogêneas:
y = v x \quad\text{com}\quad v=v(x).
  • Derivando y=vx obtemos
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
  • Vamos escrever o RHS em função de v. Pegando os factores do denominador e substituindo y=vx (observe que usei y=vx para transformar cada termo; isso é permitido mesmo com x=0 depois, pois obteremos a solução implícita que inclui o caso x=0):
\text{numerador}=16x^2-8x(vx)+(vx)^2 = x^2(16-8v+v^2)=(x^2)(v^2-8v+16).
Para o denominador:
(-4x-2y)(-x+y)=(-4x-2vx)(-x+vx)=x^2(-4-2v)(-1+v).
Multiplicando e simplificando obtemos
(-4-2v)(-1+v)= -2(v+2)(v-1),
logo o denominador é -2x^2(v+2)(v-1).
Portanto a razão é
\frac{16x^2-8xy+y^2}{(-4x-2y)(-x+y)} = \frac{x^2(v^2-8v+16)}{-2x^2(v+2)(v-1)} = -\tfrac{1}{2}\,\frac{(v-4)^2}{(v+2)(v-1)}.
Assim a equação diferencial reduz a
v + x\frac{dv}{dx} = -\tfrac{1}{2}\,\frac{(v-4)^2}{(v+2)(v-1)}.

Passo 3

Separação de variáveis (obter equação separável em v e x) e integração.
  • Isolando x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=-\tfrac{1}{2}\,\frac{(v-4)^2}{(v+2)(v-1)}-v.
  • Colocando sobre denominador comum (v+2)(v-1):
x\frac{dv}{dx} = \frac{-\tfrac{1}{2}(v-4)^2 - v(v+2)(v-1)}{(v+2)(v-1)}.
  • Reescrevendo para separar:
\frac{dv}{\displaystyle -\tfrac{1}{2}(v-4)^2 - v(v+2)(v-1)}\,(v+2)(v-1) = \frac{dx}{x}.
  • Simplificamos a parte em v. Denomine
P(v)=2v^3+3v^2-12v+16.
Uma verificação direta mostra que
P'(v)=6v^2+6v-12 = 6(v+2)(v-1).
Agora observe que o numerador que temos na integral pode ser manipulado para envolver P'(v). De fato, com algumas contas (verificar expanções) obtemos
\frac{(v+2)(v-1)}{-\tfrac{1}{2}(v-4)^2 - v(v+2)(v-1)} = -2\,\frac{(v+2)(v-1)}{P(v)} = -\frac{1}{3}\,\frac{P'(v)}{P(v)}.
  • Portanto a integral separada fica muito simples:
\int -\frac{1}{3}\,\frac{P'(v)}{P(v)}\,dv = \int \frac{dx}{x}.
  • Integrando ambos os lados:
-\tfrac{1}{3}\ln|P(v)| = \ln|x| + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Multiplicando por -3 e exponenciando,
\ln|P(v)| = -3\ln|x| + C_2 \quad\Longrightarrow\quad P(v) = C x^{-3},
com C constante real.

Passo 4

Voltar à variável original y e escrever a solução geral (implícita).
  • Lembrando v=y/x e multiplicando por x^3, obtemos a solução geral implícita:
2y^3 + 3x y^2 -12 x^2 y + 16 x^3 = C,
para constante arbitrária C. Esta é a forma geral (implícita) da família de soluções.

Passo 5

Determinação da solução do PVI usando a condição inicial.
  • Avaliando em x=0 e y(0)=y_0=-\dfrac{\sqrt[3]{12}}{2}:
C = 2 y_0^3.
  • Calcule y_0^3:
y_0^3 = \left(-\dfrac{\sqrt[3]{12}}{2}\right)^3 = -\dfrac{12}{8} = -\dfrac{3}{2}.
Logo
C = 2\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right) = -3.
  • Assim a solução do PVI (implícita) é
2y^3 + 3x y^2 -12 x^2 y + 16 x^3 = -3.

Passo 6

Análise do intervalo de validade e identificação da alternativa correta.
  • A equação original é indefinida quando o denominador é zero, ou seja nas retas
y = x \quad\text{e}\quad y = -2x.
  • A solução não pode ser estendida além dos pontos onde a curva solução intersecta essas retas, porque aí a derivada se torna infinita/indefinida (singularidade).
  • Para encontrar as abscissas dessas intersecções substituímos essas retas na solução do PVI:
    1. Interseção com y=x: substituindo y=x em 2y^3 + 3x y^2 -12 x^2 y + 16 x^3 = -3
    9x^3 = -3 \quad\Longrightarrow\quad x^3 = -\tfrac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{\sqrt[3]{9}}{3}.
    1. Interseção com y=-2x: substituindo y=-2x resulta
    36 x^3 = -3 \quad\Longrightarrow\quad x^3 = -\tfrac{1}{12}\quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{1}{\sqrt[3]{12}}.
  • Observe a relação algébrica entre as formas: -\dfrac{1}{\sqrt[3]{12}} = -\dfrac{\sqrt[3]{18}}{6} (é a mesma quantidade escrita de forma diferente).
  • Valores numéricos aproximados:
    • -\dfrac{\sqrt[3]{9}}{3}\approx -0,693\ldots
    • -\dfrac{\sqrt[3]{18}}{6}\approx -0,436\ldots
  • A interseção mais próxima do ponto inicial x=0 é x=-\dfrac{\sqrt[3]{18}}{6}. Portanto, partindo de x=0, a solução pode ser estendida para a direita até +\infty sem encontrar singularidade, e para a esquerda apenas até o primeiro encontro com uma reta singular, que ocorre em x=-\dfrac{\sqrt[3]{18}}{6}.
  • Logo o intervalo maximal de validade que contém 0 é
\Bigl(-\frac{\sqrt[3]{18}}{6},\; +\infty\Bigr),
que corresponde à alternativa (a).

Passo 7

Esboço qualitativo da solução do PVI (instrução para desenhar).
  • Desenhar os eixos x (horizontal) e y (vertical).
  • Traçar as retas singulares y=x (inclinação 45^\circ) e y=-2x (inclinação negativa mais acentuada).
  • Marcar o ponto inicial \big(0,-\tfrac{\sqrt[3]{12}}{2}\big) em x=0, y\approx-1{,}1447.
  • Desenhar a curva implícita definida por 2y^3+3xy^2-12x^2y+16x^3=-3 passando por esse ponto; ao ir para a esquerda a curva encontra primeiro a reta y=-2x em x=-\tfrac{\sqrt[3]{18}}{6} (ponto de singularidade), e para a direita segue sem cruzar as retas (pois as interseções reais com as retas acontecem à esquerda de x=0), estendendo-se para x\to+\infty. Colocar uma seta indicando continuação para a direita até +\infty.

Resposta

2y^3+3xy^2-12x^2y+16x^3=C (solução geral implícita)
2y^3+3xy^2-12x^2y+16x^3=-3 (solução do PVI com y(0)=-\dfrac{\sqrt[3]{12}}{2})
Alternativa escolhida: a \displaystyle\Bigl(-\frac{\sqrt[3]{18}}{6},+\infty\Bigr)

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