Usando as propriedades das derivadas e a tabela, mostre que:
dd t(x^y)=x^y(y x^primex+y^prime ln (x))
Para responder o item c), considere que x=e^ln x, e portanto x^y=e^y ln (x). Depois use a regra da cadeia: Seja u=y ln (x), então
d e^ud t=d e^ud u d ud t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar as propriedades das derivadas pra mostrar que a derivada de $ x^{y} $ em relação a $ t $ é igual a $ x^{y}\left(y \frac{x’}{x} + y’ \ln(x)\right) $. A gente vai precisar usar a regra da cadeia e entender como derivar funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever $ x^{y} $ de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que qualquer potência pode ser escrita usando a base $ e $, então:
x^y
Isso vai nos ajudar a aplicar a regra da cadeia mais facilmente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Seja $ u = y \ln(x) $. Então nossa função fica:
u = y ln(x)
A regra da cadeia diz que a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ t $ é a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ u $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ t $:
x^y = e^u

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente:
e^u
Agora, vamos derivar $ u = y \ln(x) $ em relação a $ t $:
u
Aqui, usamos a regra do produto e a derivada de $ \ln(x) $ que é $ \frac{1}{x} \cdot x’ $.

Passo 5

Juntando tudo, temos:
ddt x^y = e^u cdot ( y' ln(x) + y cdot x'x )
Lembrando que $ e^{u} = x^{y} $, então substituímos de volta:
e^u = x^y

Resposta

dd t(x^y) = x^y(y x^primex + y^prime ln(x))

Exercícios relacionados