Usando as propriedades das derivadas e a tabela, mostre que:
Para responder o item c), considere que
, e portanto
. Depois use a regra da cadeia: Seja
, então
Para responder o item c), considere que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar as propriedades das derivadas pra mostrar que a derivada de $ x^{y} $ em relação a $ t $ é igual a $ x^{y}\left(y \frac{x’}{x} + y’ \ln(x)\right) $. A gente vai precisar usar a regra da cadeia e entender como derivar funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever $ x^{y} $ de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que qualquer potência pode ser escrita usando a base $ e $, então:
Isso vai nos ajudar a aplicar a regra da cadeia mais facilmente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Seja $ u = y \ln(x) $. Então nossa função fica:
A regra da cadeia diz que a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ t $ é a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ u $ vezes a derivada de $ u $ em relação a $ t $:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de $ e^{u} $ em relação a $ u $ é simplesmente:
Agora, vamos derivar $ u = y \ln(x) $ em relação a $ t $:
Aqui, usamos a regra do produto e a derivada de $ \ln(x) $ que é $ \frac{1}{x} \cdot x’ $.
Passo 5
Juntando tudo, temos:
Lembrando que $ e^{u} = x^{y} $, então substituímos de volta: