Usando as propriedades das derivadas e a tabela, mostre que:
dd t(a x)=a d xd t, onde a é uma constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a propriedade de linearidade da derivada em relação a um fator constante, ou seja, provar que
ddtl(a,x(t)r) = a,dxdt,
onde a é constante e x=x(t) é função de t. Para isso vamos usar a definição de derivada como limite e a propriedade de fatoração de constantes em limites.

Passo 2

Escrevemos a derivada de a,x(t) pela definição de limite:
ddtl(a,x(t)r) = limhto0a,x(t+h)-a,x(t)h

Passo 3

No numerador há um fator comum a, que podemos colocar em evidência:
ddtl(a,x(t)r) = limhto0a,l(x(t+h)-x(t)r)h

Passo 4

Como a não depende de h, usamos a propriedade de limites
limhto0a,u(h) = a,limhto0u(h)
para tirar a para fora do limite. Isso dá
ddtl(a,x(t)r) = a,limhto0x(t+h)-x(t)h = a,dxdt

Resposta

ddtl(a,xr) = a,dxdt

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