Usando as propriedades das derivadas e a tabela, mostre que:
dd t(xy)=y x^prime-x y^primey^2

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é que a gente precisa encontrar a derivada de uma fração onde o numerador é x e o denominador é y, ambas funções de t. A matéria envolvida é cálculo diferencial, mais especificamente as propriedades das derivadas e a regra do quociente. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a regra do quociente e usar as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se você tem uma função que é uma divisão de duas funções, digamos u(t) dividido por v(t), a derivada dessa função em relação a t é dada por:
ddt(uv) = v cdot dudt - u cdot dvdtv^2
Então, basicamente, pegamos o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra à nossa função xy. Aqui, u(t) = x e v(t) = y. Então, precisamos calcular dudt e dvdt, que são as derivadas de x e y em relação a t, respectivamente. Vamos chamar essas derivadas de x^prime e y^prime.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do quociente:
ddt(xy) = y cdot x^prime - x cdot y^primey^2
Aqui, multiplicamos y pela derivada de x, subtraímos x vezes a derivada de y, e dividimos tudo pelo quadrado de y.

Resposta

dd t(xy) = y x^prime - x y^primey^2

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