Usando as propriedades de determinantes, mostre que:
\operatorname{det}\left[\begin{array}{lll} a-b & 1 & a \\\ b-c & 1 & b \\\ c-a & 1 & c \end{array}\right]=\operatorname{det}\left[\begin{array}{lll} a & b & c \\\\ 1 & 1 & 1 \\\ b & c & a \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os dois determinantes abaixo são iguais:
\operatorname{det}\left[\begin{array}{lll} a-b & 1 & a \\\ b-c & 1 & b \\\ c-a & 1 & c \end{array}\right]=\operatorname{det}\left[\begin{array}{lll} a & b & c \\\\ 1 & 1 & 1 \\\ b & c & a \end{array}\right].
As informações relevantes são as entradas de cada matriz (os símbolos a,b,c aparecem nas posições mostradas). A tarefa é calcular (ou manipular) os determinantes e mostrar que eles coincidem.

Passo 2

Vou usar a fórmula de determinante para matrizes 3\times3. Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix} x & y & z\\\ u & v & w\\\ p & q & r \end{pmatrix}
a fórmula (expansão pela primeira linha ou regra de Sarrus) é
\det = x\,(v r - w q) - y\,(u r - w p) + z\,(u q - v p).
Aqui x,y,z são os elementos da primeira linha, u,v,w da segunda, p,q,r da terceira, e cada termo entre parênteses é o determinante 2\times2 do menor correspondente. Também usarei que o determinante de uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\\ \gamma & \delta \end{pmatrix}
é \alpha\delta-\beta\gamma. Vou aplicar essa fórmula passo a passo em cada determinante do enunciado.

Passo 3

Calculemos o determinante da matriz da esquerda, que chamo de A:
A=\begin{pmatrix} a-b & 1 & a \\\ b-c & 1 & b \\\ c-a & 1 & c \end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula com x=a-b, y=1, z=a, u=b-c, v=1, w=b, p=c-a, q=1, r=c, obtemos
\det(A)=(a-b)\,(1\cdot c - b\cdot 1)-1\,( (b-c)\cdot c - b\cdot(c-a) )+a\,((b-c)\cdot 1 - 1\cdot(c-a)).
Agora calculemos cada determinante 2\times2 dentro dos parênteses:
  1. 1\cdot c - b\cdot 1 = c-b.
  2. (b-c)\cdot c - b\cdot(c-a) = (b-c)c - b(c-a) = bc - c^{2} - bc + ab = ab - c^{2}.
  3. (b-c)\cdot 1 - 1\cdot(c-a) = b-c - (c-a) = b-c-c+a = a+b-2c.
Substituindo esses resultados em \det(A):
\det(A)=(a-b)(c-b) -1\cdot(ab-c^{2}) + a(a+b-2c).

Passo 4

Agora simplificamos \det(A) passo a passo:
(a-b)(c-b)=ac-ab-bc+b^{2},
então
\det(A)=ac-ab-bc+b^{2}-ab+c^{2}+a^{2}+ab-2ac.
Agrupando termos semelhantes:
\det(A)=a^{2} \;+\; b^{2} \;+\; c^{2} \;+\; (ac-2ac) \;+\;(-ab-ab+ab)\;+\;(-bc).
Isto dá
\det(A)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc.
Portanto obtivemos uma expressão simétrica:
\det(A)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc.

Passo 5

Agora calculemos o determinante da matriz da direita, que chamo de B:
B=\begin{pmatrix} a & b & c \\\\ 1 & 1 & 1 \\\ b & c & a \end{pmatrix}.
Uma escolha conveniente é expandir pela segunda linha (porque todos os elementos são 1). Pela fórmula, para a segunda linha (índice i=2) temos os sinais (-1)^{2+1}=-1,\;(-1)^{2+2}=+1,\;(-1)^{2+3}=-1. Assim
\det(B)=-1\cdot\det\begin{pmatrix} b & c \\\ c & a \end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix} a & c \\\ b & a \end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix} a & b \\\ b & c \end{pmatrix}.
Calculamos cada 2\times2:
  1. \det\begin{pmatrix} b & c \\\ c & a \end{pmatrix}=ba-c^{2}=ab-c^{2}.
  2. \det\begin{pmatrix} a & c \\\ b & a \end{pmatrix}=a\cdot a - c\cdot b = a^{2}-bc.
  3. \det\begin{pmatrix} a & b \\\ b & c \end{pmatrix}=a c - b^{2} = ac-b^{2}.
Substituindo em \det(B):
\det(B)=-(ab-c^{2}) + (a^{2}-bc) - (ac-b^{2}).

Passo 6

Simplificamos \det(B):
\det(B)=-ab+c^{2}+a^{2}-bc-ac+b^{2}.
Reagrupando:
\det(B)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc.
Portanto \det(B) resulta na mesma expressão que \det(A).

Passo 7

Concluímos que os dois determinantes são iguais, ambos valendo a expressão simétrica encontrada:
\det(A)=\det(B)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc.

Resposta

\operatorname{det}\left[\begin{array}{lll} a-b & 1 & a \\\ b-c & 1 & b \\\ c-a & 1 & c \end{array}\right]=\operatorname{det}\left[\begin{array}{lll} a & b & c \\\\ 1 & 1 & 1 \\\ b & c & a \end{array}\right]=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc

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