Define-se o produto interno de u e v em relação à matriz \mathbf{M} como (\mathbf{u}, \mathbf{v})_{\mathbf{M}}=\mathbf{u}^{T} \mathbf{M v}. Considerando então esse tipo de produto, pede-se:
(a) Normalizar os vetores \boldsymbol{\varphi}_{1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right)^{T}, \boldsymbol{\varphi}_{2}=\left(\begin{array}{lll}-1 & 0 & 1\end{array}\right)^{T}, \boldsymbol{\varphi}_{3}=\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 1\end{array}\right)^{T} em relação a \mathbf{M}, com
\mathbf{M}=\left[\begin{array}{lll} 1 / 2 & & \\\ & 1 & \\\ & & 1 / 2 \end{array}\right]
(b) Verifique se \left\{\begin{array}{lll}\boldsymbol{\varphi}_{1} & \boldsymbol{\varphi}_{2} & \boldsymbol{\varphi}_{3}\end{array}\right\} é um conjunto mutuamente ortonormal em relação a \mathbf{M}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) normalizar os vetores \boldsymbol{\varphi}_{1}, \boldsymbol{\varphi}_{2}, \boldsymbol{\varphi}_{3} em relação ao produto interno definido por (\mathbf{u},\mathbf{v})_{\mathbf{M}}=\mathbf{u}^{T}\mathbf{M}\mathbf{v}; (b) verificar se o conjunto \{\boldsymbol{\varphi}_{1},\boldsymbol{\varphi}_{2},\boldsymbol{\varphi}_{3}\} é mutuamente ortonormal em relação a \mathbf{M}.
Informações dadas (retirei tudo do enunciado):
\boldsymbol{\varphi}_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{\varphi}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{\varphi}_{3}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}
e
\mathbf{M}=\begin{pmatrix}1/2 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1/2\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa “normalizar” e “ortonormalidade” com este produto interno? Vou explicar passo a passo.
Definição do produto interno dado: para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v},
(\mathbf{u},\mathbf{v})_{\mathbf{M}}=\mathbf{u}^{T}\mathbf{M}\mathbf{v}.
A norma induzida por esse produto interno é
\|\mathbf{u}\|_{\mathbf{M}}=\sqrt{(\mathbf{u},\mathbf{u})_{\mathbf{M}}}=\sqrt{\mathbf{u}^{T}\mathbf{M}\mathbf{u}}.
Um vetor é “normalizado” (ou unitário) em relação a \mathbf{M} quando \|\mathbf{u}\|_{\mathbf{M}}=1. Para normalizar um vetor \mathbf{u} calculamos
\widehat{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|_{\mathbf{M}}}.
Dois vetores são “ortonormais” se são mutuamente ortogonais (produto interno zero) e cada um tem norma 1. Um conjunto é “mutuamente ortonormal” se todo par distinto tem produto interno zero e cada vetor tem norma 1.
Observação prática: como \mathbf{M} é diagonal com entradas m_{1}=1/2,\;m_{2}=1,\;m_{3}=1/2, para vetores \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})^{T} e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})^{T} vale a forma simples
\mathbf{u}^{T}\mathbf{M}\mathbf{v}= \tfrac{1}{2}u_{1}v_{1}+1\cdot u_{2}v_{2}+\tfrac{1}{2}u_{3}v_{3}.
Isso facilita bastante os cálculos — basta multiplicar componente a componente com os pesos da diagonal.

Passo 3

Calcular a norma de \boldsymbol{\varphi}_{1}.
Usando a fórmula diagonal:
\boldsymbol{\varphi}_{1}^{T}\mathbf{M}\boldsymbol{\varphi}_{1} = \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \tfrac{1}{2}+1+\tfrac{1}{2}=2.
Portanto
\|\boldsymbol{\varphi}_{1}\|_{\mathbf{M}}=\sqrt{2}.

Passo 4

Normalizar \boldsymbol{\varphi}_{1}.
Dividimos \boldsymbol{\varphi}_{1} por sua norma:
\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{1}=\frac{\boldsymbol{\varphi}_{1}}{\|\boldsymbol{\varphi}_{1}\|_{\mathbf{M}}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Cheque mental: usando a definição, \widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{1}^{T}\mathbf{M}\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{1}=(1/2+1+1/2)/2=1, como esperado.]

Passo 5

Calcular a norma de \boldsymbol{\varphi}_{2}.
Aplicando a mesma fórmula:
\boldsymbol{\varphi}_{2}^{T}\mathbf{M}\boldsymbol{\varphi}_{2} = \tfrac{1}{2}\cdot(-1)\cdot(-1) + 1\cdot 0\cdot 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \tfrac{1}{2}+0+\tfrac{1}{2}=1.
Logo
\|\boldsymbol{\varphi}_{2}\|_{\mathbf{M}}=1.

Passo 6

Normalizar \boldsymbol{\varphi}_{2}.
Como \|\boldsymbol{\varphi}_{2}\|_{\mathbf{M}}=1, o vetor já é unitário em relação a \mathbf{M}. Assim
\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{2}=\boldsymbol{\varphi}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular a norma de \boldsymbol{\varphi}_{3}.
Usando a fórmula:
\boldsymbol{\varphi}_{3}^{T}\mathbf{M}\boldsymbol{\varphi}_{3} = \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot (-1)\cdot(-1) + \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \tfrac{1}{2}+1+\tfrac{1}{2}=2.
Portanto
\|\boldsymbol{\varphi}_{3}\|_{\mathbf{M}}=\sqrt{2}.

Passo 8

Normalizar \boldsymbol{\varphi}_{3}.
Dividindo por \sqrt{2}:
\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{3}=\frac{\boldsymbol{\varphi}_{3}}{\|\boldsymbol{\varphi}_{3}\|_{\mathbf{M}}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Verificar ortogonalidade mútua: calcular os produtos internos (\boldsymbol{\varphi}_{i},\boldsymbol{\varphi}_{j})_{\mathbf{M}} para i\neq j.
Calcule (\boldsymbol{\varphi}_{1},\boldsymbol{\varphi}_{2})_{\mathbf{M}}:
\boldsymbol{\varphi}_{1}^{T}\mathbf{M}\boldsymbol{\varphi}_{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot(-1) + 1\cdot 1\cdot 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = -\tfrac{1}{2}+0+\tfrac{1}{2}=0.
Calcule (\boldsymbol{\varphi}_{1},\boldsymbol{\varphi}_{3})_{\mathbf{M}}:
\boldsymbol{\varphi}_{1}^{T}\mathbf{M}\boldsymbol{\varphi}_{3} = \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot(-1) + \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \tfrac{1}{2}-1+\tfrac{1}{2}=0.
Calcule (\boldsymbol{\varphi}_{2},\boldsymbol{\varphi}_{3})_{\mathbf{M}}:
\boldsymbol{\varphi}_{2}^{T}\mathbf{M}\boldsymbol{\varphi}_{3} = \tfrac{1}{2}\cdot(-1)\cdot 1 + 1\cdot 0\cdot(-1) + \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = -\tfrac{1}{2}+0+\tfrac{1}{2}=0.
Como todos os produtos internos entre vetores distintos são 0, os vetores são mutuamente ortogonais.

Passo 10

Conclusão sobre ortonormalidade: já mostramos que cada vetor normalizado tem norma 1 (passos 3–8) e que os pares distintos têm produto interno 0 (passo 9). Portanto o conjunto \{\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{1},\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{2},\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{3}\} é mutuamente ortonormal em relação a \mathbf{M}. No caso, \widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{i} são as versões normalizadas que obtivemos.

Resposta

(a) \widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad \widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad \widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{3}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(b) Sim — os três vetores são mutuamente ortonormais em relação a \mathbf{M}.]

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