Define-se o produto interno de u e v em relação à matriz \mathbf{M} como (\mathbf{u}, \mathbf{v})_{\mathbf{M}}=\mathbf{u}^{T} \mathbf{M v}. Considerando então esse tipo de produto, pede-se:
(a) Normalizar os vetores \boldsymbol{\varphi}_{1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1\end{array}\right)^{T}, \boldsymbol{\varphi}_{2}=\left(\begin{array}{lll}-1 & 0 & 1\end{array}\right)^{T}, \boldsymbol{\varphi}_{3}=\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 1\end{array}\right)^{T} em relação a \mathbf{M}, com
(b) Verifique se \left\{\begin{array}{lll}\boldsymbol{\varphi}_{1} & \boldsymbol{\varphi}_{2} & \boldsymbol{\varphi}_{3}\end{array}\right\} é um conjunto mutuamente ortonormal em relação a \mathbf{M}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) normalizar os vetores \boldsymbol{\varphi}_{1}, \boldsymbol{\varphi}_{2}, \boldsymbol{\varphi}_{3} em relação ao produto interno definido por (\mathbf{u},\mathbf{v})_{\mathbf{M}}=\mathbf{u}^{T}\mathbf{M}\mathbf{v}; (b) verificar se o conjunto \{\boldsymbol{\varphi}_{1},\boldsymbol{\varphi}_{2},\boldsymbol{\varphi}_{3}\} é mutuamente ortonormal em relação a \mathbf{M}.
Dois vetores são “ortonormais” se são mutuamente ortogonais (produto interno zero) e cada um tem norma 1. Um conjunto é “mutuamente ortonormal” se todo par distinto tem produto interno zero e cada vetor tem norma 1.
Observação prática: como \mathbf{M} é diagonal com entradas m_{1}=1/2,\;m_{2}=1,\;m_{3}=1/2, para vetores \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})^{T} e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})^{T} vale a forma simples
Como todos os produtos internos entre vetores distintos são 0, os vetores são mutuamente ortogonais.
Passo 10
Conclusão sobre ortonormalidade: já mostramos que cada vetor normalizado tem norma 1 (passos 3–8) e que os pares distintos têm produto interno 0 (passo 9). Portanto o conjunto \{\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{1},\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{2},\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{3}\} é mutuamente ortonormal em relação a \mathbf{M}. No caso, \widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{i} são as versões normalizadas que obtivemos.
Resposta
(a) \widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad
\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad
\widehat{\boldsymbol{\varphi}}_{3}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(b) Sim — os três vetores são mutuamente ortonormais em relação a \mathbf{M}.]