Em formulações baseadas em deslocamentos do MEF, o correspondente sistema de eqs. algébricas é genericamente dado por
, onde
é matriz de rigidez do sistema estrutural ef o vetor de forças nodais equivalentes. Sabendo-se que, para estruturas não devidamente restringidas, deslocamentos de corpo rígido obviamente ocorrem, mostre que as colunas de
são 1.d.?
Passo 1
O enunciado dá a equação global do MEF por deslocamentos
onde
é a matriz de rigidez global do sistema e
o vetor de forças nodais equivalentes. Diz-se que, se a estrutura não está devidamente restringida, ela admite deslocamentos de corpo rígido (movimentos que deslocam todo o corpo sem deformá‑lo). A pergunta é: mostrando isso, conclua que as colunas de
são 1.d. (isto é, linearmente dependentes).\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Existência de deslocamentos de corpo rígido não nulos
. - Definição do sistema global
. - Objetivo: deduzir a dependência linear das colunas de
.
Passo 2
Vou explicar o que significa “colunas de
são linearmente dependentes” de modo direto e útil para a prova. Se as colunas
de
são linearmente dependentes, existe um vetor não nulo
tal que
Escrevendo isso em forma matricial, isso é equivalente a
com
. Ou seja: existem vetores não nulos no núcleo (nullspace) de
. Portanto, para provar dependência linear das colunas, basta encontrar um vetor não nulo
que satisfaça
.
Passo 3
Agora trago o conceito físico-matemático que liga corpo rígido a
. Em elementos finitos, a rigidez elementar
é construída a partir da relação tensão‑deformação e da relação deformação‑deslocamento. Em muitas formulações (linha linear elástica) temos a expressão padrão (em forma condensada):
onde:
-
é a matriz que relaciona deslocamentos nodais elementares às deformações por ; -
é a matriz de propriedades do material (módulos constitutivos), simétrica positiva definida; -
é o volume/área do elemento.\n
Essa fórmula significa: a energia interna e as contribuições de rigidez de cada elemento vêm do termo.
Passo 4
Explique por que um deslocamento de corpo rígido produz
no elemento. Por definição, um deslocamento de corpo rígido é um campo de deslocamentos que não gera deformação local: a deformação é zero em todo ponto do elemento. Em termos da matriz
,
Como
para todo ponto do elemento, substituindo em
temos
Portanto, para cada elemento, o vetor de deslocamentos de corpo rígido local
está no núcleo de
.
Passo 5
Agora passo da assembleia de elementos à matriz global. A matriz global
é a reunião (assembly) das
seguindo as correspondências dos graus de liberdade nodais. Se cada elemento contribui com
para o modo rígido compatível aos graus de liberdade globais, então a montagem dá
onde
é o vetor global de deslocamentos que representa o modo de corpo rígido (compatibilizado com os graus de liberdade globais). Importante:
porque representa um movimento físico não nulo (por exemplo translação ou rotação).
Passo 6
Conclua a implicação linear-algébrica. Encontramos um vetor não nulo
tal que
Pelo argumento do Passo 2, isso significa que existe uma combinação linear não trivial das colunas de
que resulta em zero; logo, as colunas de
são linearmente dependentes. Em linguagem de propriedades matriciais:
é singular (determinante nulo) e tem posto reduzido; o espaço nulo de
tem dimensão igual ao número de modos rígidos livres da estrutura.
Resposta
As colunas de
são linearmente dependentes, pois existe um vetor de deslocamentos de corpo rígido
tal que
.