Em formulações baseadas em deslocamentos do MEF, o correspondente sistema de eqs. algébricas é genericamente dado por \mathbf{K u}=\mathbf{f}, onde \mathbf{K} é matriz de rigidez do sistema estrutural ef o vetor de forças nodais equivalentes. Sabendo-se que, para estruturas não devidamente restringidas, deslocamentos de corpo rígido obviamente ocorrem, mostre que as colunas de \mathbf{K} são 1.d.?

Passo 1

O enunciado dá a equação global do MEF por deslocamentos
\mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{f},
onde \mathbf{K} é a matriz de rigidez global do sistema e \mathbf{f} o vetor de forças nodais equivalentes. Diz-se que, se a estrutura não está devidamente restringida, ela admite deslocamentos de corpo rígido (movimentos que deslocam todo o corpo sem deformá‑lo). A pergunta é: mostrando isso, conclua que as colunas de \mathbf{K} são 1.d. (isto é, linearmente dependentes).\n
Informações relevantes dadas:
  • Existência de deslocamentos de corpo rígido não nulos \mathbf{r}\neq\mathbf{0}.
  • Definição do sistema global \mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{f}.
  • Objetivo: deduzir a dependência linear das colunas de \mathbf{K}.

Passo 2

Vou explicar o que significa “colunas de \mathbf{K} são linearmente dependentes” de modo direto e útil para a prova. Se as colunas \mathbf{k}_1,\mathbf{k}_2,\dots,\mathbf{k}_n de \mathbf{K} são linearmente dependentes, existe um vetor não nulo \boldsymbol{\alpha}\neq\mathbf{0} tal que
\alpha_1\mathbf{k}_1+\alpha_2\mathbf{k}_2+\cdots+\alpha_n\mathbf{k}_n=\mathbf{0}.
Escrevendo isso em forma matricial, isso é equivalente a
\mathbf{K}\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}
com \boldsymbol{\alpha}\neq\mathbf{0}. Ou seja: existem vetores não nulos no núcleo (nullspace) de \mathbf{K}. Portanto, para provar dependência linear das colunas, basta encontrar um vetor não nulo \mathbf{r} que satisfaça \mathbf{K}\mathbf{r}=\mathbf{0}.

Passo 3

Agora trago o conceito físico-matemático que liga corpo rígido a \mathbf{K}. Em elementos finitos, a rigidez elementar \mathbf{K}_e é construída a partir da relação tensão‑deformação e da relação deformação‑deslocamento. Em muitas formulações (linha linear elástica) temos a expressão padrão (em forma condensada):
\mathbf{K}_e=\int_{V_e}\mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{D}\,\mathbf{B}\,dV,
onde:
  • \mathbf{B} é a matriz que relaciona deslocamentos nodais elementares \mathbf{u}_e às deformações \boldsymbol{\varepsilon} por \boldsymbol{\varepsilon}=\mathbf{B}\,\mathbf{u}_e;
  • \mathbf{D} é a matriz de propriedades do material (módulos constitutivos), simétrica positiva definida;
  • V_e é o volume/área do elemento.\n
    Essa fórmula significa: a energia interna e as contribuições de rigidez de cada elemento vêm do termo \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{D}\mathbf{B}.

Passo 4

Explique por que um deslocamento de corpo rígido produz \mathbf{K}_e\mathbf{r}_e=\mathbf{0} no elemento. Por definição, um deslocamento de corpo rígido é um campo de deslocamentos que não gera deformação local: a deformação é zero em todo ponto do elemento. Em termos da matriz \mathbf{B},
\boldsymbol{\varepsilon}=\mathbf{B}\,\mathbf{r}_e=\mathbf{0}.
Como \mathbf{B}\,\mathbf{r}_e=\mathbf{0} para todo ponto do elemento, substituindo em \mathbf{K}_e\mathbf{r}_e temos
\mathbf{K}_e\mathbf{r}_e=\left(\int_{V_e}\mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{D}\,\mathbf{B}\,dV\right)\mathbf{r}_e =\int_{V_e}\mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{D}\,(\mathbf{B}\mathbf{r}_e)\,dV =\int_{V_e}\mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{D}\,\mathbf{0}\,dV=\mathbf{0}.
Portanto, para cada elemento, o vetor de deslocamentos de corpo rígido local \mathbf{r}_e está no núcleo de \mathbf{K}_e.

Passo 5

Agora passo da assembleia de elementos à matriz global. A matriz global \mathbf{K} é a reunião (assembly) das \mathbf{K}_e seguindo as correspondências dos graus de liberdade nodais. Se cada elemento contribui com \mathbf{K}_e\mathbf{r}_e=\mathbf{0} para o modo rígido compatível aos graus de liberdade globais, então a montagem dá
\mathbf{K}\,\mathbf{r}=\sum_e \text{(contribuições de elementos)}=\mathbf{0},çõ
onde \mathbf{r} é o vetor global de deslocamentos que representa o modo de corpo rígido (compatibilizado com os graus de liberdade globais). Importante: \mathbf{r}\neq\mathbf{0} porque representa um movimento físico não nulo (por exemplo translação ou rotação).

Passo 6

Conclua a implicação linear-algébrica. Encontramos um vetor não nulo \mathbf{r} tal que
\mathbf{K}\mathbf{r}=\mathbf{0}.
Pelo argumento do Passo 2, isso significa que existe uma combinação linear não trivial das colunas de \mathbf{K} que resulta em zero; logo, as colunas de \mathbf{K} são linearmente dependentes. Em linguagem de propriedades matriciais: \mathbf{K} é singular (determinante nulo) e tem posto reduzido; o espaço nulo de \mathbf{K} tem dimensão igual ao número de modos rígidos livres da estrutura.

Resposta

As colunas de \mathbf{K} são linearmente dependentes, pois existe um vetor de deslocamentos de corpo rígido \mathbf{r}\neq\mathbf{0} tal que \mathbf{K}\mathbf{r}=\mathbf{0}.

Exercícios relacionados