Usando as propriedades da função Delta de Dirac, calcule as seguintes expressões:
(b) integral-infty^+infty sen k tautau(tau^3+1) de

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral usando propriedades da função Delta de Dirac e é parte do conteúdo de transformadas e distribuições. Precisamos usar a propriedade de “peneirar” (sifting) da delta para transformar a integral em uma avaliação da função dentro da integranda.

Passo 2

Vamos lembrar da propriedade fundamental da delta de Dirac: ela “extrai” o valor da função no ponto onde o argumento da delta se anula. Em forma de fórmula:
integral-infty^+infty f(tau),de

Passo 3

Aqui temos a função
f(tau)=sin(ktau)tau,(tau^3+1)
então basta identificar essa função dentro da integral original.

Passo 4

Aplicando diretamente a propriedade de “peneirar”, substituímos tau por t em f(tau). Assim, a integral fica igual a
sin(k t)t,(t^3+1)

Resposta

sin(k t)t,(t^3+1)

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