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Mostre que, se x(t) e y(t) forem sinais de energia ortogonais, Ex+y=Ex+Ey.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, se dois sinais de energia x(t) e y(t) são ortogonais, então a energia do sinal soma x(t)+y(t) é simplesmente a soma das energias E_x e E_y. O conteúdo envolvido é definição de energia de sinal e ortogonalidade via produto interno, e vamos usar essas definições.

Passo 2

Recordando que a energia de um sinal x(t) é dada por
Ex = integral-infty^infty |x(t)|^2 ,dt
e, analogamente,
Ex+y = integral-infty^infty |x(t)+y(t)|^2 ,dt

Passo 3

Ortogonalidade de sinais de energia significa que o produto interno
lang<= x,yrang<= = integral-infty^infty x(t),y^*(t) ,dt
é zero. Ou seja,
integral-infty^infty x(t),y^*(t) ,dt = 0

Passo 4

Vamos expandir a expressão de E_{x+y}:
Ex+y = integral-infty^infty |x(t)+y(t)|^2 ,dt = integral-infty^infty l(x(t)+y(t)r)l(x(t)+y(t)r)^* ,dt = integral-infty^infty l(|x(t)|^2 + x(t),y^*(t) + x^*(t),y(t) + |y(t)|^2r) dt

Passo 5

Separando os termos, obtemos
Ex+y = integral |x(t)|^2 dt + integral x(t),y^*(t) dt + integral x^*(t),y(t) dt + integral |y(t)|^2 dt
Como integral x(t)y^*(t)dt=0 pela ortogonalidade e esse integral é o conjugado de integral x^*(t)y(t)dt, os dois termos cruzados somam zero. Logo
Ex+y = Ex + Ey

Resposta

E_{x+y} = E_x + E_y

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