Usando as propriedades de limite, calcule o valor de cada limite abaixo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(-2,2)} 5 x^{3}+2 x y^{2}-y^{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(-2,2)} 5x^{3}+2x y^{2}-y^{3}.
Informações dadas:
\text{a expressão é }5x^{3}+2x y^{2}-y^{3},ãé
o ponto de aproximação é (x,y)\to(-2,2),
e não há restrições adicionais sobre x e y.

Passo 2

Estratégia e propriedades que vamos usar (bem devagarinho, como num passo-a-passo de prova):
  1. A propriedade linear dos limites: o limite da soma é a soma dos limites. Ou seja, se existem os limites, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\big(f(x,y)+g(x,y)\big)=\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)+\lim_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y).
  1. A constante pode sair do limite:
\lim_{(x,y)\to(a,b)} c\cdot f(x,y)=c\cdot\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y),
para c constante.
3) O limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem):
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\big(fg\big)=\Big(\lim_{(x,y)\to(a,b)}f\Big)\Big(\lim_{(x,y)\to(a,b)}g\Big).
  1. Potências: \lim_{(x,y)\to(a,b)}\big(f(x,y)\big)^n=\big(\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\big)^n quando o limite de f existe e n é inteiro positivo.
    Comentário prático: polinômios em x,y (como o da questão) são combinações de somas, produtos e potências de x e y. Portanto esses passos permitem reduzir o limite ao valor da função em (a,b) — em palavras simples: podemos substituir x e y pelos seus valores no ponto porque polinômios são contínuos. Agora vamos aplicar essas propriedades passo a passo.

Passo 3

Aplicando a propriedade da soma, escrevemos o limite como soma de limites:
\lim_{(x,y)\to(-2,2)}\big(5x^{3}+2x y^{2}-y^{3}\big)=\lim_{(x,y)\to(-2,2)}5x^{3}+\lim_{(x,y)\to(-2,2)}2x y^{2}-\lim_{(x,y)\to(-2,2)}y^{3}.
Tirando constantes para fora dos limites:
=5\lim_{(x,y)\to(-2,2)}x^{3}+2\lim_{(x,y)\to(-2,2)}x y^{2}-\lim_{(x,y)\to(-2,2)}y^{3}.
Agora usamos o produto e potência de limites. Primeiro, \lim_{(x,y)\to(-2,2)}x=-2 e \lim_{(x,y)\to(-2,2)}y=2. Assim:
\lim_{(x,y)\to(-2,2)}x^{3}=\big(\lim_{(x,y)\to(-2,2)}x\big)^{3}=(-2)^{3},
\lim_{(x,y)\to(-2,2)}y^{2}=\big(\lim_{(x,y)\to(-2,2)}y\big)^{2}=2^{2},
\lim_{(x,y)\to(-2,2)}y^{3}=\big(\lim_{(x,y)\to(-2,2)}y\big)^{3}=2^{3}.
Também para o produto x y^{2}:
\lim_{(x,y)\to(-2,2)}x y^{2}=\big(\lim_{(x,y)\to(-2,2)}x\big)\big(\lim_{(x,y)\to(-2,2)}y^{2}\big)=(-2)\cdot 2^{2}.

Passo 4

Agora calculamos os valores numéricos de forma bem explícita:
(-2)^{3} = -8,
2^{2} = 4,
2^{3} = 8.
Substituindo nas expressões obtidas:
5\lim_{(x,y)\to(-2,2)}x^{3}=5\cdot(-8)=-40,
2\lim_{(x,y)\to(-2,2)}x y^{2}=2\cdot\big((-2)\cdot 4\big)=2\cdot(-8)=-16,
\lim_{(x,y)\to(-2,2)}y^{3}=8.
Lembre que no original o termo é -y^{3}, então contribui com -8.

Passo 5

Somando tudo:
-40 + (-16) + (-8) = -40 -16 -8.
Fazendo as somas:
-40 -16 = -56,
-56 -8 = -64.
Portanto o valor do limite é -64.

Resposta

-64

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