Usando as propriedades de limite, calcule o valor de cada limite abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
o ponto de aproximação é
,
e não há restrições adicionais sobre e
.
e não há restrições adicionais sobre
Passo 2
Estratégia e propriedades que vamos usar (bem devagarinho, como num passo-a-passo de prova):
- A propriedade linear dos limites: o limite da soma é a soma dos limites. Ou seja, se existem os limites, então
- A constante pode sair do limite:
para
constante.
3) O limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem):
3) O limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem):
- Potências:
quando o limite de existe e é inteiro positivo.
Comentário prático: polinômios em(como o da questão) são combinações de somas, produtos e potências de e . Portanto esses passos permitem reduzir o limite ao valor da função em — em palavras simples: podemos substituir e pelos seus valores no ponto porque polinômios são contínuos. Agora vamos aplicar essas propriedades passo a passo.
Passo 3
Aplicando a propriedade da soma, escrevemos o limite como soma de limites:
Tirando constantes para fora dos limites:
Agora usamos o produto e potência de limites. Primeiro,
e
. Assim:
Também para o produto
:
Passo 4
Agora calculamos os valores numéricos de forma bem explícita:
Substituindo nas expressões obtidas:
Lembre que no original o termo é
, então contribui com
.
Passo 5
Somando tudo:
Fazendo as somas:
Portanto o valor do limite é
.